Teorema de Brunn-Minkowski

En matemáticas, el teorema de Brunn-Minkowski (o desigualdad de Brunn-Minkowski) es una desigualdad que relaciona los volúmenes (o más generalmente medidas de Lebesgue) de subconjuntos compactos del espacio euclidiano. La versión original del teorema de Brunn-Minkowski (Hermann Brunn 1887; Hermann Minkowski 1896) se aplicó a conjuntos convexos; la generalización a conjuntos compactos no convexos que se indica aquí se debe a Lazar Lyusternik (1935).

Enunciado

Sea n ≥ 1 y sea μ la medida de Lebesgue en Rⁿ. Sean A y B dos subconjuntos compactos no vacíos de Rⁿ. Entonces se cumple la siguiente desigualdad:

$[\mu (A+B){]}^{1/n}\ge [\mu (A){]}^{1/n}+[\mu (B){]}^{1/n},$

donde A + B denota la suma de Minkowski:

$A+B:=\{a+b\in {ℝ}^n\mid a\in A,b\in B\}.$

Observaciones

La demostración del teorema de Brunn-Minkowski establece que la función

$A\mapsto [\mu (A){]}^{1/n}$

es cóncavo en el sentido de que, para cada par de subconjuntos compactos no vacíos A y B de R ⁿ y cada 0 ≤ t ≤ 1,

${[\mu (tA+(1-t)B)]}^{1/n}\ge t[\mu (A){]}^{1/n}+(1-t)[\mu (B){]}^{1/n}.$

Para los conjuntos convexos A y B de medida positiva, la desigualdad en el teorema es estricta para 0 < t <1 a menos que A y B sean homotéticos positivos, es decir, sean iguales hasta la traslación y dilatación por un factor positivo.

Véase también

• Desigualdad isoperimétrica
• Desigualdad inversa de Brunn-Minkowski de Milman
• Fórmula de Minkowski-Steiner
• Desigualdad Prékopa-Leindler
• Desigualdad aleatoria de Brunn-Minkowski de Vitale
• Volumen mixto

Referencias

• Plantilla:Cita publicación
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro Plantilla:Cita libro Plantilla:Cita libro
• Heinrich Guggenheimer (1977) Geometría aplicable, página 146, Krieger, Huntington Plantilla:ISBN .
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• Plantilla:Cita noticia
• Rolf Schneider, Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.