Teorema de Heine-Cantor

En matemáticas, el teorema de Heine-Cantor, llamado así por deberse a Eduard Heine (1821 - 1881) y Georg Cantor, establece que, si $f:M\to N$ es una función continua entre dos espacios métricos y $M$ es compacto, entonces $f$ es uniformemente continua en $M$.

En particular, se tiene que toda función real continua definida en un intervalo cerrado y acotado $f:[a,b]\to ℝ$ es uniformemente continua, pues $[a,b]$ es compacto.

Demostración

La continuidad uniforme de una función se expresa como:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }x,y\in M:(d_M(x,y))<\delta \Rightarrow d_N(f(x),f(y))<\epsilon ),$

donde $d_M$, $d_N$ son las funciones distancia en los espacios métricos $M$ y $N$, respectivamente. Si ahora asumimos que $f$ es continua en el espacio métrico compacto $M$ pero no uniformemente continua, llegaremos a contradicción. La negación de la continuidad uniforme de $f$ queda así ($\wedge$ denota la conjunción lógica "y"):

$\mathrm{\exists }{\epsilon }_0>0\mathrm{\forall }\delta >0\mathrm{\exists }x,y\in M:(d_M(x,y)<\delta \wedge d_N(f(x),f(y))\ge {\epsilon }_0).$

Fijando este ${\epsilon }_0$, para todo $\delta$ positivo tenemos un par de puntos $x$ e $y$ en $M$ con las propiedades arriba descritas. Si elegimos $\delta =1/n$ para $n=1,2,3,...$ obtenemos dos sucesiones $\{x_n\},\{y_n\}$ tales que

$d_M(x_n,y_n)<\frac{1}{n}\wedge d_N(f(x_n),f(y_n))\ge {\epsilon }_0.$

Como $M$ es compacto, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra la existencia de dos subsucesiones convergentes ($x_{n_k}$ a $x_0$ y $y_{n_k}$ a $y_0$). Se sigue que para todo $k\in \mathbb{N}$

$d_M(x_{n_k},y_{n_k})<\frac{1}{n_k}\wedge d_N(f(x_{n_k}),f(y_{n_k}))\ge {\epsilon }_0.$

Pero como $f$ es continua y $x_{n_k}$ e $y_{n_k}$ convergen en el mismo punto, esta afirmación no puede ser cierta. La contradicción prueba que nuestra suposición de que $f$ no es uniformemente continua es absurda: entonces $f$ debe ser uniformemente continua en $M$ como afirma el teorema. $◻$