Teorema de la intersección de Cantor

El teorema de la intersección de Cantor refiere a dos teoremas estrechamente relacionados topología general y análisis real, nombrado en honor a Georg Cantor, en relación con intersecciones de secuencias anidadas de conjuntos compactos no vacíos.

Enunciación topológica

Teorema. Sea S un espacio topológico. Una secuencia anidada decreciente de subconjuntos no vacíos cerrados y compactos de S tiene una intersección no vacía. En otras palabras, suponiendo que $(C_k)$ es una secuencia de subconjuntos no vacíos compactos y cerrados de S que satisface

$C_0\supset C_1\supset \cdots C_n\supset C_{n+1}\cdots ,$

resulta que

$\left(\bigcap _k{C}_k\right)\ne \mathrm{\varnothing }.$

Nota: Podemos abandonar la condición de cerrado en situaciones donde cada subconjunto compacto de S es cerrado; por ejemplo, cuando S es un espacio de Hausdorff.

Demostración. Supóngase por contradicción que $\bigcap C_k=\mathrm{\varnothing }$. Para cada k, sea $U_k=C_0\setminus C_k$. Como $\bigcup U_k=C_0\setminus (\bigcap C_k)$ y $\bigcap C_k=\mathrm{\varnothing }$, se tiene que $\bigcup U_k=C_0$. Nótese que como $C_k$ son cerradas relativamente a S y, por lo tanto, también cerradas relativamente a $C_0$, la $U_k$, su conjunto complementa $C_0$, son abiertos relativamente a $C_0$.

Como $C_0\subset S$ es compacto, $(U_k)$ es un recubrimiento de abiertos (en $C_0$) de $C_0$, se puede extraer una tapa finita $\{U_{k_1},U_{k_2},\dots ,U_{k_m}\}$. Sea $M=\underset{1\le i\le m}{\max }{k}_i$. Entonces $\bigcup U_{k_i}=U_M$ ya que $U_1\subset U_2\subset \cdots \subset U_n\subset U_{n+1}\cdots$, por la hipótesis de anidamiento de la colección $(C_k)$. Consecuentemente, $C_0=\bigcup U_{k_i}=U_M$, pero entonces $C_M=C_0\setminus U_M=\mathrm{\varnothing }$, contradiciéndose. ∎

Referencias

• Plantilla:MathWorld
• Jonathan Lewin. An interactive introduction to mathematical analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-01718-1. Sección 7.8.