Teorema del collage

Imagen hecha con un atractor a partir de la de una hoja de árbol.

En matemáticas, el teorema del collage caracteriza a un sistema iterativo de funciones cuyo atractor es cercano, según la distancia de Hausdorff, a un conjunto dado. El sistema iterativo de funciones descrito está compuesto por contracciones cuyas imágenes, como un collage o una unión al representar el conjunto dado, están arbitrariamente cerca del conjunto dado. Normalmente se utiliza en compresión fractal.

Definición

Sea $𝕏$ un espacio métrico completo. Supóngase que $L$ es un subconjunto compacto y no vacío de $𝕏$ y sea $ϵ>0$ un valor dado. Elíjase un sistema iterativo de funciones (SIF) $\{𝕏;w_1,w_2,\dots ,w_N\}$ con factor de contractividad $0\le s<1$. El factor de contractividad del SIF es el máximo de los factores de contractividad de las aplicaciones $w_i$. Supóngase ahora que

$h(L,\bigcup _{n=1}^N{w}_n(L))\le \epsilon ,$

donde $h(\cdot ,\cdot )$ es la métrica de Hausdorff. Entonces

$h(L,A)\le \frac{\epsilon }{1-s}$

donde A es el atractor del SIF. Equivalentemente,

$h(L,A)\le (1-s{)}^{-1}h(L,\underset{n=1}{\overset{N}{\cup }}{w}_n(L))$, para todos los subconjuntos compactos L no vacíos de $𝕏$.

De manera informal, si $L$ está cerca de ser estabilizado por el SIF, entonces $L$ también está cerca de ser el atractor del SIF.

Véase también

• Michael Barnsley
• Helecho de Barnsley

Bibliografía

• Plantilla:Cite book

Enlaces externos

• Una descripción del teorema del collage y el subprograma interactivo de Java en Alexander Bogomolny.
• Notas sobre el diseño de SIF para aproximar imágenes reales.
• Documento expositivo sobre fractales y teorema del collage