Unión de conjuntos

La unión de los conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math es otro conjunto Plantilla:Math que contiene todos los elementos de Plantilla:Math y de Plantilla:Math.

En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son los mismos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos Plantilla:Math y el conjunto de los números impares positivos Plantilla:Math:

$P=\{2,4,6,\dots \}$

$I=\{1,3,5,\dots \}$

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\dots \}$

La unión de conjuntos se denota por el símbolo $\cup$ , de modo que por ejemplo:

$\mathbb{N}=P\cup I$

Definición

Dados dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math, su unión es el conjunto que contiene todos los elementos, que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos Plantilla:Math o Plantilla:Math: Plantilla:Definición

Unión de dos conjuntos Plantilla:Math o Plantilla:Math.

Ejemplo.

• Considerando los conjuntos de números naturales Plantilla:Math y Plantilla:Math. Su unión es entonces Plantilla:Math, ya que el único número natural que no es ni primo ni compuesto es (por definición) 1.

En la unión de conjuntos, los elementos repetidos sólo aparecen una vez, pues los conjuntos no pueden tener elementos repetidos:

$\{1,2,3,4\}\cup \{5,2,1\}=\{1,2,3,4,5\}$

Generalizaciones

Es posible definir la unión de un número finito de conjuntos, superior a dos: Plantilla:Definición Y esta se puede calcular utilizando la propiedad asociativa de la unión de dos conjuntos (más abajo). De este modo, para unir varios conjuntos el orden en el que se haga es irrelevante: Plantilla:Teorema

Una definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos: Plantilla:Definición Esta definición coincide con las anteriores en el caso de una familia finita de conjuntos:

Plantilla:Math, donde Plantilla:Math

Plantilla:Math, donde Plantilla:Math

La unión general de conjuntos se denota de diversas maneras: Plantilla:Ecuación donde esta última se aplica en el caso de que se utilice un conjunto índice, tomando Plantilla:Math como Plantilla:Math.

Propiedades

Plantilla:AP De la definición de unión puede deducirse directamente: Plantilla:Teorema La unión de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números: Plantilla:Teorema Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la disyunción lógica.

En relación con la operación de intersección existen unas leyes distributivas: Plantilla:Teorema

Cardinalidad

Plantilla:AP El número de elementos de la unión de dos conjuntos finitos Plantilla:Math y Plantilla:Math es la suma de los elementos de Plantilla:Math y de Plantilla:Math, si no tienen elementos en común. Plantilla:Teorema Como en un conjunto los elementos no pueden repetirse, si Plantilla:Math y Plantilla:Math tienen elementos en común, al sumar sus elementos se contarían los elementos comunes más de una vez. Por ejemplo:

{1, a, ♠} y {b, a, 5} tienen ambos tres elementos, pero su unión {1, a, ♠, b, 5} tiene cinco elementos y no seis.

Por ello, es necesario eliminar las repeticiones al contar los elementos de Plantilla:Math: Plantilla:Teorema Esta fórmula se generaliza para el caso más complicado de una unión de un número arbitrario de conjuntos finitos. Por ejemplo en el caso de tres conjuntos se tiene:

$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|A\cap C|+|A\cap B\cap C|$

y en general se tiene el llamado principio de inclusión-exclusión: Plantilla:Teorema En el caso de que alguno de los conjuntos involucrados sea infinito, las expresiones anteriores siguen siendo válidas, entendiéndolas como afirmaciones relativas a cardinales infinitos (con ciertas modificaciones).

Axioma de la unión

Plantilla:AP En teoría axiomática de conjuntos no puede demostrarse la existencia de la unión de conjuntos a partir de propiedades más básicas. Es por ello que se postula la existencia de la unión, añadiendo como axioma el llamado axioma de unión.

Véase también

• Álgebra de conjuntos
• Conjunto
• Teoría de conjuntos
• Intersección de conjuntos

Referencias

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro En el capítulo 2.7 detalla el principio de inclusión-exclusión.
• Plantilla:Cita libro