Teorema geométrico de Euler

$d=|IO|=\sqrt{R(R-2r)}$

En geometría, el teorema de Euler establece que la distancia d entre el circuncentro y el incentro de un triángulo, cumple la relación siguiente:

$d^2=R(R-2r)$

o de forma equivalente

$\frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r}$

donde R y r denotan el circunradio y el inradio (los radios de la circunferencia circunscrita y de la circunferencia inscrita respectivamente).

El teorema recibe su nombre en memoria de Leonhard Euler, quien lo publicó en 1767, aunque el mismo resultado ya había sido dado a conocer por William Chapple en 1746.

Del teorema se deduce la Desigualdad de Euler:

$R\ge 2r,$

que se convierte en una igualdad solo en el caso del triángulo equilátero.Plantilla:Rp

Demostración

Plantilla:Recortar Imagen Siendo O el circuncentro de triángulo ABC, e I su incentro, la extensión de AI cruza la circunferencia circunscrita en L. Entonces, L es el punto medio del arco BC. Se unen LO y se extiende hasta cruzar la circunferencia circunscrita en M. Se construye ahora una perpendicular a AB, desde I, siendo D su pie, así que ID = r. No es difícil de probar que el triángulo ADI es similar al triángulo MBL, así que ID / BL = AI / ML; y por lo tanto ID × ML = AI × BL. En consecuencia, 2Rr = AI × BL. Únase BI. Debido a que

∠ BIL = ∠ A / 2 + ∠ ABC / 2,

∠ IBL = ∠ ABC / 2 + ∠ CBL = ∠ ABC / 2 + ∠ A / 2,

se tiene que ∠ BIL = ∠ IBL, y así BL = IL, y AI × IL = 2 Rr. Extendiendo OI de modo que cruce la circunferencia circunscrita en P y Q; entonces PI × QI = AI × IL = 2Rr, así que (R + d)(R − d) = 2Rr, entonces d² = R(R - 2r). Plantilla:Clear

Versión fuerte de la desigualdad

Una versión más fuerte esPlantilla:Rp

$\frac{R}{r}\ge \frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1\ge \frac{2}{3}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\ge 2.$

Véase también

• Teorema de Fuss para la relación entre las mismas tres variables en cuadriláteros bicéntricos.
• Teorema de clausura de Poncelet, mostrando que hay una infinidad de triángulos con el mismo R, r, y d.
• Anexo:Desigualdades del triángulo