Triángulo heptagonal

Un heptágono regular (con lados rojos), sus diagonales más largas (verdes), y sus diagonales más cortas (azules). Cada uno de los catorce triángulos heptagonales congruentes tiene un lado verde, un lado azul, y un lado rojo.

Un triángulo heptagonal es un triángulo escaleno obtuso cuyos vértices coinciden con el primer, segundo y cuarto vértices de un heptágono regular (desde un vértice inicial arbitrario). Por lo tanto, sus tres lados coinciden con un lado y con las diagonales adyacentes más cortas y más largas de un heptágono regular. Todos los triángulos heptagonales son similares (tienen la misma forma), por lo que se conocen colectivamente como el triángulo heptagonal. Sus ángulos miden $\pi /7,2\pi /7,$ y $4\pi /7,$ y es el único triángulo con ángulos en las relaciones 1: 2: 4. El triángulo heptagonal tiene varias propiedades notables.

Puntos clave

El centro de nueve puntos del triángulo heptagonal es también su primer punto de Brocard. Plantilla:Rp

El segundo punto de Brocard se encuentra en el círculo de nueve puntos. Plantilla:Rp

El circuncentro y los puntos de Fermat de un triángulo heptagonal forman un triángulo equilátero. Plantilla:Rp

La distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H viene dada por Plantilla:Rp

$OH=R\sqrt{2},$

donde R es el circunradio. La distancia al cuadrado desde el incentro I al ortocentro es Plantilla:Rp

$I{H}^2=\frac{R^2+4r^2}{2},$

donde r es el inradio.

Las dos tangentes desde el ortocentro hasta el circuncírculo son mutuamente perpendiculares. Plantilla:Rp

Relaciones de distancias

Lados

Los lados del triángulo heptagonal a < b < c coinciden respectivamente con el lado del heptágono regular, diagonal más corta y diagonal más larga. Satisfacen que Plantilla:Rp

$\begin{array}{cc}{a}^2& =c(c-b),\\ b^2& =a(c+a),\\ c^2& =b(a+b),\\ \frac{1}{a}& =\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\end{array}$

(la última Plantilla:Rp es la ecuación óptica) y por lo tanto

$ab+ac=bc,$

y Plantilla:Rp

$b^3+2b^{2}c-b{c}^2-c^3=0,$

$c^3-2c^{2}a-c{a}^2+a^3=0,$

$a^3-2a^{2}b-a{b}^2+b^3=0.$

Por lo tanto, -b/c, c/a y a/b satisfacen la ecuación cúbica

$t^3-2t^2-t+1=0.$

La relación entre los lados es

$b=2\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\cdot a,c=(1+2\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right))\cdot a.$

y las raíces de esta ecuación son:

$\{\begin{array}{c}{t}_1=1-2\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\\ t_2=1+2\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)\\ t_3=4\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)\cos \left(\frac{3\pi }{7}\right)\end{array}$

También se tiene que

$\frac{a^2}{bc},-\frac{b^2}{ca},-\frac{c^2}{ab}$

satisface la ecuación cúbica

$t^3+4t^2+3t-1=0$

y las raíces de esta ecuación son:

$\{\begin{array}{c}{t}_1=-1-2\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\\ t_2=-1+2\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)\\ t_3=4\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)\cos \left(\frac{3\pi }{7}\right)-2\end{array}$

También se tiene que

$\frac{a^3}{b{c}^2},-\frac{b^3}{c{a}^2},\frac{c^3}{a{b}^2}$

satisface la ecuación cúbica

$t^3-t^2-9t+1=0$

y las raíces de esta ecuación son:

$\{\begin{array}{c}{t}_1=1-4\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)\\ t_2=1+4\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)\\ t_3=8\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)\cos \left(\frac{3\pi }{7}\right)-1\end{array}$

Así mismo, los valores

$\frac{a^3}{b^{2}c},\frac{b^3}{c^{2}a},-\frac{c^3}{a^{2}b}$

satisfacen la ecuación cúbica

$t^3+5t^2-8t+1=0$

y las raíces de esta ecuación son:

$\{\begin{array}{c}{t}_1=-2[\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)+2\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)+1]\\ t_2=6\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)-2\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)-3\\ t_3=2[3\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)-2\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)]\end{array}$

También se tiene que Plantilla:Rp

$b^2-a^2=ac,$

$c^2-b^2=ab,$

$a^2-c^2=-bc,$

y Plantilla:Rp

$\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}=5.$

Por otro lado

$ab-bc+ca=0,$

$a^{3}b-b^{3}c+c^{3}a=0,$

$a^{4}b+b^{4}c-c^{4}a=0,$

$a^{11}{b}^3-b^{11}{c}^3+c^{11}{a}^3=0.$

No hay otro par de números (m, n), tales que m, n > 0 y que m, n <2000, que cumplan Plantilla:Cita requerida

$a^m{b}^n\pm b^m{c}^n\pm c^m{a}^n=0.$

Alturas

Las alturas h_a, h_b y h_c satisfacen

$h_a=h_b+h_c$ Plantilla:Rp

y

$h_a^2+h_b^2+h_c^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}.$ Plantilla:Rp

La altura desde el lado b (ángulo opuesto B) es la mitad de la bisectriz del ángulo interno $w_A$ de A: Plantilla:Rp

$2h_b=w_A.$

Aquí el ángulo A es el ángulo más pequeño y B es el segundo ángulo más pequeño.

Bisectrices

Se tienen las siguientes propiedades de las bisectrices $w_A,w_B,$ y $w_C$ de los ángulos A, B y C respectivamente: Plantilla:Rp

$w_A=b+c,$

$w_B=c-a,$

$w_C=b-a.$

Circunradio, inradio y exinradios

El área del triángulo es

$A=\frac{\sqrt{7}}{4}{R}^2,$

donde R es el circunradio del triángulo.

Se tiene que Plantilla:Rp

$a^2+b^2+c^2=7R^2.$

También se tiene que

$a^4+b^4+c^4=21R^4.$

$a^6+b^6+c^6=70R^6.$

La relación $\frac{r}{R}=2\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)-\frac{3}{2}$ del inradio respecto al circunradio es la solución positiva de la ecuación cúbica

$8x^3+28x^2+14x-7=0$

siendo las otras dos raíces de esta ecuación $2\cos \left(\frac{3\pi }{7}\right)-\frac{3}{2}$ y $2\cos \left(\frac{5\pi }{7}\right)-\frac{3}{2}$.

La relación $\frac{r_a+r_b+r_c}{R}=2\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)+\frac{5}{2}$ de la suma de los exinradios respecto al circunradio es la mayor de las raíces de la ecuación cúbica:

$8x^3-68x^2+174x-127=0$

siendo las otras dos raíces de esta ecuación $2\cos \left(\frac{3\pi }{7}\right)+\frac{5}{2}$ y $2\cos \left(\frac{5\pi }{7}\right)+\frac{5}{2}$.

La relación $\frac{\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}}{R}=4\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)$ de la suma de los inversos de los exinradios respecto al circunradio es la única raíz positiva de la ecuación cúbica:

$x^3+2x^2-8x-8=0$

siendo las otras dos raíces de esta ecuación $4\cos \left(\frac{4\pi }{7}\right)$ y $4\cos \left(\frac{6\pi }{7}\right)$.

Además, Plantilla:Rp

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{2}{R^2}.$

También se tiene que

$\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}=\frac{2}{R^4}.$

$\frac{1}{a^6}+\frac{1}{b^6}+\frac{1}{c^6}=\frac{17}{7R^6}.$

En general para todos los enteros n,

$a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}=g(n)(2R{)}^{2n}$

donde

$g(-1)=8,g(0)=3,g(1)=7$

y

$g(n)=7g(n-1)-14g(n-2)+7g(n-3).$

Así mismo

$2b^2-a^2=\sqrt{7}bR,2c^2-b^2=\sqrt{7}cR,2a^2-c^2=-\sqrt{7}aR.$

También se tiene que

$a^{3}c+b^{3}a-c^{3}b=-7R^4,$

$a^{4}c-b^{4}a+c^{4}b=7\sqrt{7}{R}^5,$

$a^{11}{c}^3+b^{11}{a}^3-c^{11}{b}^3=-7^{3}17R^{14}.$

El exradio r_a correspondiente al lado a es igual al radio de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo heptagonal. Plantilla:Rp

Triángulo órtico

El triángulo órtico del triángulo heptagonal, con vértices en los pies de las alturas, es similar al triángulo heptagonal, con una relación de similitud de 1: 2. El triángulo heptagonal es el único triángulo obtuso que es similar a su triángulo órtico (el triángulo equilátero es el único agudo con esta propiedad). Plantilla:Rp

Propiedades trigonométricas

Las diversas identidades trigonométricas asociadas con el triángulo heptagonal incluyen: Plantilla:Rp

$A=\frac{\pi }{7},B=\frac{2\pi }{7},C=\frac{4\pi }{7}.$

$\cos A=b/2a,\cos B=c/2b,\cos C=-a/2c,$ Plantilla:Rp

$\cos A\cos B\cos C=-\frac{1}{8},$

${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C=\frac{5}{4},$

${\cos }^{4}A+{\cos }^{4}B+{\cos }^{4}C=\frac{13}{16},$

$\cot A+\cot B+\cot C=\sqrt{7},$

${\cot }^{2}A+{\cot }^{2}B+{\cot }^{2}C=5,$

${\csc }^{2}A+{\csc }^{2}B+{\csc }^{2}C=8,$

${\csc }^{4}A+{\csc }^{4}B+{\csc }^{4}C=32,$

${\sec }^{2}A+{\sec }^{2}B+{\sec }^{2}C=24,$

${\sec }^{4}A+{\sec }^{4}B+{\sec }^{4}C=416,$

$\mathrm{sen}A\mathrm{sen}B\mathrm{sen}C=\frac{\sqrt{7}}{8},$

${\mathrm{sen}}^{2}A{\mathrm{sen}}^{2}B{\mathrm{sen}}^{2}C=\frac{7}{64},$

${\mathrm{sen}}^{2}A+{\mathrm{sen}}^{2}B+{\mathrm{sen}}^{2}C=\frac{7}{4},$

${\mathrm{sen}}^{4}A+{\mathrm{sen}}^{4}B+{\mathrm{sen}}^{4}C=\frac{21}{16},$

$\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C=-\sqrt{7},$

${\tan }^{2}A+{\tan }^{2}B+{\tan }^{2}C=21.$

La ecuación cúbica

$64y^3-112y^2+56y-7=0$

tiene soluciones Plantilla:Rp ${\mathrm{sen}}^2\frac{\pi }{7},{\mathrm{sen}}^2\frac{2\pi }{7},$ y ${\mathrm{sen}}^2\frac{4\pi }{7},$ que son los senos al cuadrado de los ángulos del triángulo.

La solución positiva de la ecuación cúbica

$x^3+x^2-2x-1=0$

es igual $2\cos \frac{2\pi }{7},$ que es el doble del coseno de uno de los ángulos del triángulo. Plantilla:Rp

Sen (2π/7), sen (4π/7) y sen (8π/7) son las raíces de

$x^3-\frac{\sqrt{7}}{2}{x}^2+\frac{\sqrt{7}}{8}=0.$

También se tiene que:

$\mathrm{sen}A-\mathrm{sen}B-\mathrm{sen}C=-\frac{\sqrt{7}}{2},$

$\mathrm{sen}A\mathrm{sen}B-\mathrm{sen}B\mathrm{sen}C+\mathrm{sen}C\mathrm{sen}A=0,$

$\mathrm{sen}A\mathrm{sen}B\mathrm{sen}C=\frac{\sqrt{7}}{8}.$

$-\mathrm{sen}A,\mathrm{sen}B,\mathrm{sen}C\text{ son las raíces de }{x}^3-\frac{\sqrt{7}}{2}{x}^2+\frac{\sqrt{7}}{8}=0.$

Para un entero n, sea

$S(n)=(-\mathrm{sen}A{)}^n+{\mathrm{sen}}^{n}B+{\mathrm{sen}}^{n}C.$

Para n = 0, ..., 20,

$S(n)=3,\frac{\sqrt{7}}{2},\frac{7}{2^2},\frac{\sqrt{7}}{2},\frac{7\cdot 3}{2^4},\frac{7\sqrt{7}}{2^4},\frac{7\cdot 5}{2^5},\frac{7^2\sqrt{7}}{2^7},\frac{7^2\cdot 5}{2^8},\frac{7\cdot 25\sqrt{7}}{2^9},\frac{7^2\cdot 9}{2^9},\frac{7^2\cdot 13\sqrt{7}}{2^{11}},$

$\frac{7^2\cdot 33}{2^{11}},\frac{7^2\cdot 3\sqrt{7}}{2^9},\frac{7^4\cdot 5}{2^{14}},\frac{7^2\cdot 179\sqrt{7}}{2^{15}},\frac{7^3\cdot 131}{2^{16}},\frac{7^3\cdot 3\sqrt{7}}{2^{12}},\frac{7^3\cdot 493}{2^{18}},\frac{7^3\cdot 181\sqrt{7}}{2^{18}},\frac{7^5\cdot 19}{2^{19}}.$

Para n = 0, -1,, ..-20,

$S(n)=3,0,2^3,-\frac{2^3\cdot 3\sqrt{7}}{7},2^5,-\frac{2^5\cdot 5\sqrt{7}}{7},\frac{2^6\cdot 17}{7},-2^7\sqrt{7},\frac{2^9\cdot 11}{7},-\frac{2^{10}\cdot 33\sqrt{7}}{7^2},\frac{2^{10}\cdot 29}{7},-\frac{2^{14}\cdot 11\sqrt{7}}{7^2},\frac{2^{12}\cdot 269}{7^2},$

$-\frac{2^{13}\cdot 117\sqrt{7}}{7^2},\frac{2^{14}\cdot 51}{7},-\frac{2^{21}\cdot 17\sqrt{7}}{7^3},\frac{2^{17}\cdot 237}{7^2},-\frac{2^{17}\cdot 1445\sqrt{7}}{7^3},\frac{2^{19}\cdot 2203}{7^3},-\frac{2^{19}\cdot 1919\sqrt{7}}{7^3},\frac{2^{20}\cdot 5851}{7^3}.$

$-\cos A,\cos B,\cos C\text{ son las raíces de }{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}=0.$

Para cualquier entero n

$C(n)=(-\cos A{)}^n+{\cos }^{n}B+{\cos }^{n}C.$

Para n = 0, 1, ... 10,

$C(n)=3,-\frac{1}{2},\frac{5}{4},-\frac{1}{2},\frac{13}{16},-\frac{1}{2},\frac{19}{32},-\frac{57}{128},\frac{117}{256},-\frac{193}{512},\frac{185}{512},...$

$C(-n)=3,-4,24,-88,416,-1824,8256,-36992,166400,-747520,3359744,...$

$\tan A,\tan B,\tan C\text{ son las raíces de }{x}^3+\sqrt{7}{x}^2-7x+\sqrt{7}=0.$

${\tan }^{2}A,{\tan }^{2}B,{\tan }^{2}C\text{ son las raíces de }{x}^3-21x^2+35x-7=0.$

Para un entero n, sea

$T(n)={\tan }^{n}A+{\tan }^{n}B+{\tan }^{n}C.$

Para n = 0, 1, ... 10,

$T(n)=3,-\sqrt{7},7\cdot 3,-31\sqrt{7},7\cdot 53,-7\cdot 87\sqrt{7},7\cdot 1011,-7^2\cdot 239\sqrt{7},7^2\cdot 2771,-7\cdot 32119\sqrt{7},7^2\cdot 53189,$

$T(-n)=3,\sqrt{7},5,\frac{25\sqrt{7}}{7},19,\frac{103\sqrt{7}}{7},\frac{563}{7},7\cdot 9\sqrt{7},\frac{2421}{7},\frac{13297\sqrt{7}}{7^2},\frac{10435}{7},...$

También se tiene que

$\tan A-4\mathrm{sen}B=-\sqrt{7},$

$\tan B-4\mathrm{sen}C=-\sqrt{7},$

$\tan C+4\mathrm{sen}A=-\sqrt{7}.$

Así mismo

${\cot }^{2}A=1-\frac{2\tan C}{\sqrt{7}},$

${\cot }^{2}B=1-\frac{2\tan A}{\sqrt{7}},$

${\cot }^{2}C=1-\frac{2\tan B}{\sqrt{7}}.$

También se tiene que

$\cos A=-\frac{1}{2}+\frac{4}{\sqrt{7}}{\mathrm{sen}}^{3}C,$

${\cos }^{2}A=\frac{3}{4}+\frac{2}{\sqrt{7}}{\mathrm{sen}}^{3}A,$

$\cot A=\frac{3}{\sqrt{7}}+\frac{4}{\sqrt{7}}\cos B,$

${\cot }^{2}A=3+\frac{8}{\sqrt{7}}\mathrm{sen}A,$

$\cot A=\sqrt{7}+\frac{8}{\sqrt{7}}{\mathrm{sen}}^{2}B,$

${\csc }^{3}A=-\frac{6}{\sqrt{7}}+\frac{2}{\sqrt{7}}{\tan }^{2}C,$

$\sec A=2+4\cos C,$

$\sec A=6-8{\mathrm{sen}}^{2}B,$

$\sec A=4-\frac{16}{\sqrt{7}}{\mathrm{sen}}^{3}B,$

${\mathrm{sen}}^{2}A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos B,$

${\mathrm{sen}}^{3}A=-\frac{\sqrt{7}}{8}+\frac{\sqrt{7}}{4}\cos B,$

También se tiene que

${\mathrm{sen}}^{3}B\mathrm{sen}C-{\mathrm{sen}}^{3}C\mathrm{sen}A-{\mathrm{sen}}^{3}A\mathrm{sen}B=0,$

$\mathrm{sen}B{\mathrm{sen}}^{3}C-\mathrm{sen}C{\mathrm{sen}}^{3}A-\mathrm{sen}A{\mathrm{sen}}^{3}B=\frac{7}{2^4},$

${\mathrm{sen}}^{4}B\mathrm{sen}C-{\mathrm{sen}}^{4}C\mathrm{sen}A+{\mathrm{sen}}^{4}A\mathrm{sen}B=0,$

$\mathrm{sen}B{\mathrm{sen}}^{4}C+\mathrm{sen}C{\mathrm{sen}}^{4}A-\mathrm{sen}A{\mathrm{sen}}^{4}B=\frac{7\sqrt{7}}{2^5},$

${\mathrm{sen}}^{11}B{\mathrm{sen}}^{3}C-{\mathrm{sen}}^{11}C{\mathrm{sen}}^{3}A-{\mathrm{sen}}^{11}A{\mathrm{sen}}^{3}B=0,$

${\mathrm{sen}}^{3}B{\mathrm{sen}}^{11}C-{\mathrm{sen}}^{3}C{\mathrm{sen}}^{11}A-{\mathrm{sen}}^{3}A{\mathrm{sen}}^{11}B=\frac{7^3\cdot 17}{2^{14}}.$

También se cumplen identidades de tipo Ramanujan,

$\sqrt[3]{2\mathrm{sen}(\frac{2\pi }{7})}+\sqrt[3]{2\mathrm{sen}(\frac{4\pi }{7})}+\sqrt[3]{2\mathrm{sen}(\frac{8\pi }{7})}=$

$\text{.......}(-\sqrt[18]{7})\sqrt[3]{-\sqrt[3]{7}+6+3(\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}+\sqrt[3]{4-3\sqrt[3]{7}})}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{2\mathrm{sen}(\frac{2\pi }{7})}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2\mathrm{sen}(\frac{4\pi }{7})}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2\mathrm{sen}(\frac{8\pi }{7})}}=$

$\text{.......}(-\frac{1}{\sqrt[18]{7}})\sqrt[3]{6+3(\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}+\sqrt[3]{4-3\sqrt[3]{7}})}$

$\sqrt[3]{4{\mathrm{sen}}^2(\frac{2\pi }{7})}+\sqrt[3]{4{\mathrm{sen}}^2(\frac{4\pi }{7})}+\sqrt[3]{4{\mathrm{sen}}^2(\frac{8\pi }{7})}=$

$\text{.......}\left(\sqrt[18]{49}\right)\sqrt[3]{\sqrt[3]{49}+6+3(\sqrt[3]{12+3(\sqrt[3]{49}+2\sqrt[3]{7})}+\sqrt[3]{11+3(\sqrt[3]{49}+2\sqrt[3]{7})})}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{4{\mathrm{sen}}^2(\frac{2\pi }{7})}}+\frac{1}{\sqrt[3]{4{\mathrm{sen}}^2(\frac{4\pi }{7})}}+\frac{1}{\sqrt[3]{4{\mathrm{sen}}^2(\frac{8\pi }{7})}}=$

$\text{.......}\left(\frac{1}{\sqrt[18]{49}}\right)\sqrt[3]{2\sqrt[3]{7}+6+3(\sqrt[3]{12+3(\sqrt[3]{49}+2\sqrt[3]{7})}+\sqrt[3]{11+3(\sqrt[3]{49}+2\sqrt[3]{7})})}$

$\sqrt[3]{2\cos (\frac{2\pi }{7})}+\sqrt[3]{2\cos (\frac{4\pi }{7})}+\sqrt[3]{2\cos (\frac{8\pi }{7})}=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{2\cos (\frac{2\pi }{7})}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2\cos (\frac{4\pi }{7})}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2\cos (\frac{8\pi }{7})}}=\sqrt[3]{4-3\sqrt[3]{7}}$

$\sqrt[3]{4{\cos }^2(\frac{2\pi }{7})}+\sqrt[3]{4{\cos }^2(\frac{4\pi }{7})}+\sqrt[3]{4{\cos }^2(\frac{8\pi }{7})}=\sqrt[3]{11+3(2\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{49})}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{4{\cos }^2(\frac{2\pi }{7})}}+\frac{1}{\sqrt[3]{4{\cos }^2(\frac{4\pi }{7})}}+\frac{1}{\sqrt[3]{4{\cos }^2(\frac{8\pi }{7})}}=\sqrt[3]{12+3(2\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{49})}$

$\sqrt[3]{\tan (\frac{2\pi }{7})}+\sqrt[3]{\tan (\frac{4\pi }{7})}+\sqrt[3]{\tan (\frac{8\pi }{7})}=$

$\text{.......}(-\sqrt[18]{7})\sqrt[3]{\sqrt[3]{7}+6+3(\sqrt[3]{5+3(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{49})}+\sqrt[3]{-3+3(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{49})})}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{\tan (\frac{2\pi }{7})}}+\frac{1}{\sqrt[3]{\tan (\frac{4\pi }{7})}}+\frac{1}{\sqrt[3]{\tan (\frac{8\pi }{7})}}=$

$\text{.......}(-\frac{1}{\sqrt[18]{7}})\sqrt[3]{-\sqrt[3]{49}+6+3(\sqrt[3]{5+3(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{49})}+\sqrt[3]{-3+3(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{49})})}$

$\sqrt[3]{{\tan }^2(\frac{2\pi }{7})}+\sqrt[3]{{\tan }^2(\frac{4\pi }{7})}+\sqrt[3]{{\tan }^2(\frac{8\pi }{7})}=$

$\text{.......}\left(\sqrt[18]{49}\right)\sqrt[3]{3\sqrt[3]{49}+6+3(\sqrt[3]{89+3(3\sqrt[3]{49}+5\sqrt[3]{7})}+\sqrt[3]{25+3(3\sqrt[3]{49}+5\sqrt[3]{7})})}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{{\tan }^2(\frac{2\pi }{7})}}+\frac{1}{\sqrt[3]{{\tan }^2(\frac{4\pi }{7})}}+\frac{1}{\sqrt[3]{{\tan }^2(\frac{8\pi }{7})}}=$

$\text{.......}\left(\frac{1}{\sqrt[18]{49}}\right)\sqrt[3]{5\sqrt[3]{7}+6+3(\sqrt[3]{89+3(3\sqrt[3]{49}+5\sqrt[3]{7})}+\sqrt[3]{25+3(3\sqrt[3]{49}+5\sqrt[3]{7})})}$

También se tiene que

$\sqrt[3]{\cos (\frac{2\pi }{7})/\cos (\frac{4\pi }{7})}+\sqrt[3]{\cos (\frac{4\pi }{7})/\cos (\frac{8\pi }{7})}+\sqrt[3]{\cos (\frac{8\pi }{7})/\cos (\frac{2\pi }{7})}=-\sqrt[3]{7}.$

$\sqrt[3]{\cos (\frac{4\pi }{7})/\cos (\frac{2\pi }{7})}+\sqrt[3]{\cos (\frac{8\pi }{7})/\cos (\frac{4\pi }{7})}+\sqrt[3]{\cos (\frac{2\pi }{7})/\cos (\frac{8\pi }{7})}=0.$

$\sqrt[3]{2\mathrm{sen}(2\pi 7}+\sqrt[3]{2\mathrm{sen}(4\pi 7}+\sqrt[3]{2\mathrm{sen}(8\pi 7}=(-\sqrt[18]{7})\sqrt[3]{-\sqrt[3]{7}+6+3(\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}+\sqrt[3]{4-3\sqrt[3]{7}})}$

$\sqrt[3]{{\cos }^4(\frac{4\pi }{7})/\cos (\frac{2\pi }{7})}+\sqrt[3]{{\cos }^4(\frac{8\pi }{7})/\cos (\frac{4\pi }{7})}+\sqrt[3]{{\cos }^4(\frac{2\pi }{7})/\cos (\frac{8\pi }{7})}=-\sqrt[3]{49}/2.$

$\sqrt[3]{{\cos }^5(\frac{2\pi }{7})/{\cos }^2(\frac{4\pi }{7})}+\sqrt[3]{{\cos }^5(\frac{4\pi }{7})/{\cos }^2(\frac{8\pi }{7})}+\sqrt[3]{{\cos }^5(\frac{8\pi }{7})/{\cos }^2(\frac{2\pi }{7})}=0.$

$\sqrt[3]{{\cos }^5(\frac{4\pi }{7})/{\cos }^2(\frac{2\pi }{7})}+\sqrt[3]{{\cos }^5(\frac{8\pi }{7})/{\cos }^2(\frac{4\pi }{7})}+\sqrt[3]{{\cos }^5(\frac{2\pi }{7})/{\cos }^2(\frac{9\pi }{7})}=-3*\sqrt[3]{7}/2.$

$\sqrt[3]{{\cos }^{14}(\frac{2\pi }{7})/{\cos }^5(\frac{4\pi }{7})}+\sqrt[3]{{\cos }^{14}(\frac{4\pi }{7})/{\cos }^5(\frac{8\pi }{7})}+\sqrt[3]{{\cos }^{14}(\frac{8\pi }{7})/{\cos }^5(\frac{2\pi }{7}}=0.$

$\sqrt[3]{{\cos }^{14}(\frac{4\pi }{7})/{\cos }^5(\frac{2\pi }{7})}+\sqrt[3]{{\cos }^{14}(\frac{8\pi }{7})/{\cos }^5(\frac{4\pi }{7})}+\sqrt[3]{{\cos }^{14}(\frac{2\pi }{7})/{\cos }^5(\frac{8\pi }{7})}=-61*\sqrt[3]{7}/8.$