Unicursal

Ejemplo de curva unicursal: el folium de Descartes

En matemáticas, más precisamente en geometría, un curva plana se llama unicursal, o racional si admite un parametrización de modo que sus coordenadas $x$ e $y$ sean ambas fracciones racionales del parámetro.

Ejemplos

Recta

Una recta es unicursal, ya que admite una representación paramétrica de la forma

$\{\begin{array}{c}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$

donde $(x_0,y_0)$ son las coordenadas de un punto de la línea, y $\overrightarrow{n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b})$ es un vector director de la recta.

Circunferencia

Una circunferencia es unicursal. Cuando tiene su centro en el origen de coordenadas y radio 1, tiene la siguiente representación paramétrica:

$\{\begin{array}{c}x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \\ y=\frac{2t}{1+t^2}\end{array}$

De hecho, la imagen $ℝ$ de esta función no es la circunferencia completa, ya que carece del punto de coordenadas $(-1;0)$. Pero se admite que este punto es la imagen del $\mathrm{\infty }$ por representación paramétrica. Este es un ejemplo de compacidad de Alexandrov de $ℝ$.

Hipérbola

Las secciones cónicas no degeneradas también son unicursales. Por ejemplo, la parametrización racional de una hipérbola:

$\{\begin{array}{c}x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\\ \\ y=\frac{2t}{1-t^2}\end{array}$

Curvas cúbicas

Caracterización

En particular, una curva elíptica no es unicursal.

Ejemplos

Curva cúbica nodal

El folium de Descartes tiene representación paramétrica

$\{\begin{array}{c}x=\frac{3t}{1+t^3}\\ \\ y=\frac{3t^2}{1+t^3}\end{array}$

El punto doble es el origen $(0,0)$ de coordenadas, obtenido para $t=0$ y para $t=\pm \mathrm{\infty }$.

En general, los estrofoides son unicursales.

Curvas cúbicas cuspidales

La cisoide de Diocles admite la representación paramétrica

$\{\begin{array}{c}x=t^2\\ \\ y=t^3\end{array}$

Es incluso más que racional, ya que $x$ e $y$ son incluso polinomios de $t$

Cuárticas

Un ejemplo de una curva cuártica unicursal es la lemniscata de Bernoulli, cuya ecuación paramétrica es

$\{\begin{array}{c}x=\frac{2t}{1+t^4}\\ \\ y=\frac{2t^3}{1+t^4}\end{array}$

Algebraicidad

Proposición

Al eliminar $t$ entre $x$ e $y$, cualquier curva unicursal es algebraica.

Recíproco

Una curva algebraica no es necesariamente unicursal. Es así solo si su género es 0.

Ejemplo

Se puede demostrar que la curva afín del plano de ecuación $(x^2-1{)}^2-2y^3-3y^2$ es de género 0. Por lo tanto, es unicursal y admite una parametrización racional, por ejemplo:

$\{\begin{array}{cc}x& =t(2t^2-3)\\ y& =2t^4-4t^2+\frac{1}{2}\end{array}$

con $t=\frac{xy}{x^2-y-1}$

Contraejemplos

Cónicas: una cónica degenerada no es unicursal. Por ejemplo, la 'curva' de la ecuación $x^2=1$ no tiene una representación paramétrica racional (una función de $t$ que toma solo los valores 1 y -1 no puede ser racional). Sin embargo, esta cónica degenerada consta de dos componentes, las dos líneas de ecuación $x=1$ y $x=-1$, que son unicursales por separado.

Cúbicas: las curvas cúbicas sin puntos dobles no son unicursales. De hecho, su género es 1. Por el contrario, una cúbica que tiene un punto doble es de género 0.

Aplicaciones

Puntos de coordenadas racionales

Si $t\in \mathbb{Q}$ (por ejemplo, si $t$ es un número entero), las coordenadas $x(t)$ y $y(t)$ son en sí mismas racionales. Por lo tanto, se puede usar la representación paramétrica de una curva unicursal para obtener puntos con coordenadas racionales de esta.

Ejemplo: la búsqueda de puntos con coordenadas racionales en el círculo de radio unidad (véase arriba) está vinculada a la de la terna pitagórica. Con $t=5$, se tiene

$\{\begin{array}{c}x=\frac{1-5^2}{1+5^2}=\frac{1-25}{1+25}=-\frac{24}{26}=-\frac{12}{13}\\ \\ y=\frac{2\times 5}{1+5^2}=\frac{10}{1+25}=\frac{5}{13}\end{array}$

donde se localiza el triplete $(5,12,13)$.

Nomogramas

Plantilla:AP John Clark Brixey usó representaciones paramétricas racionales del círculo y del folium de Descartes para crear nomogramas de la multiplicación (círculo graduado de doble entrada, con una recta graduada, y el folium triplemente graduado).