Valor absoluto ultramétrico

Un valor absoluto ultramétrico es una aplicación de un cuerpo K en el conjunto ℝ₊ de los números reales positivos verificando las siguientes tres propiedades:^[1]

$| x | = 0_{ℝ} ⟺ x = 0_{K}$ (axioma de separación);
$| x y | = | x | | y |$ (homomorfismo de grupos multiplicativo de K* sobre ℝ₊*)
$| x + y | \leq \max (| x |, | y |)$ (desigualdad ultramétrica)

cualesquiera que sean los elementos $x$ e $y$ de K.

Ejemplos

Valor absoluto trivial

El valor absoluto trivial de K asocia con 0 el valor 0 y el valor 1 con cualquier otro elemento de K.

Es el valor absoluto ultramétrico asociado con la valoración trivial en K.

Valor p-ádico absoluto

Plantilla:AP Sea un número primo arbitrario $p$ . Se puede escribir de forma única cualquier número racional $r$ en la forma:

$r = p^{k} \frac{a}{b}$ donde $k \in ℤ$ y donde $a$ y $b$ son primos entre sí y primos con respecto a $p$ .

Entonces se define la aplicación asociando el valor $r$ con un número racional $| r |_{p} = p^{- k}$ . Por ejemplo,

{| \frac{21}{4} |}_{2} = 4, {| \frac{15}{7} |}_{2} = 1 y {| \frac{60}{11} |}_{2} = \frac{1}{4} .

Esta aplicación es un valor absoluto ultramétrico en el cuerpo $ℚ$ , asociado con la valoración p ádica.

Vínculos con nociones relacionadas

Esta aplicación es un caso especial de valor absoluto sobre un cuerpo.
La aplicación Plantilla:Math es en consecuencia una distancia en K; la simetría se debe al hecho de que $| - x | = | x |$ para cualquier elemento $x$ de K.
Esta distancia es ultramétrica.
Una aplicación es un valor absoluto ultramétrico si y solo si es un valor absoluto asociado a una valoración con valores reales.^[2]