Conjunto polar

En análisis funcional y de convexidad, y en otras disciplinas matemáticas relacionadas, un conjunto polar $A^{\circ }$ es un conjunto convexo especial asociado a cualquier subconjunto $A$ de un espacio vectorial $X,$ que se encuentra en su espacio dual $X^{\prime }.$ El bipolar de un subconjunto es el polar de $A^{\circ },$ pero se encuentra en $X$ (no en $X^{\prime \prime }$).

Definiciones

Hay al menos tres definiciones posibles de un conjunto polar, que se originan en la geometría proyectiva y el análisis convexo. En cada caso, la definición describe una dualidad entre ciertos subconjuntos de un emparejamiento de espacios vectoriales $⟨X,Y⟩$ sobre los números reales o complejos ($X$ e $Y$ son a menudo espacios vectoriales topológicos (EVTs)).

Si $X$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo $𝕂$, entonces, a menos que se indique lo contrario, $Y$ generalmente, pero no siempre, será algún espacio vectorial de funcionales lineales en $X$ y el emparejamiento dual $⟨\cdot ,\cdot ⟩:X\times Y\to 𝕂$ será la Plantilla:Enf de Plantilla:Enf (Plantilla:Enf) definida por

$⟨x,f⟩:=f(x).$

Si $X$ es un espacio vectorial topológico, entonces el espacio $Y$ normalmente, aunque no siempre, será el espacio dual de $X,$ en cuyo caso el emparejamiento dual volverá a ser la aplicación de evaluación.

Denótese la bola cerrada de radio $r\ge 0$ centrada en el origen en el cuerpo escalar subyacente $𝕂$ de $X$ por

$B_r:=B_r^{𝕂}:=\{s\in 𝕂:|s|\le r\}.$

Definición analítica funcional

Polar absoluto

Supóngase que $⟨X,Y⟩$ es un emparejamiento. El polar o polar absoluto de un subconjunto $A$ de $X$ es el conjunto:

$\begin{array}{cccc}{A}^{\circ }:=& \{y\in Y:\underset{a\in A}{\sup }|⟨a,y⟩|\le 1\}& & \\ =& \{y\in Y:\sup |⟨A,y⟩|\le 1\}& & \text{ donde }|⟨A,y⟩|:=\{|⟨a,y⟩|:a\in A\}\\ =& \{y\in Y:⟨A,y⟩\subseteq B_1\}& & \text{ donde }{B}_1:=\{s\in 𝕂:|s|\le 1\}.\\ \end{array}$

donde $⟨A,y⟩:=\{⟨a,y⟩:a\in A\}$ denota la imagen del conjunto $A$ bajo la aplicación $⟨\cdot ,y⟩:X\to 𝕂$ definida por $x\mapsto ⟨x,y⟩.$ Si $\mathrm{cobal}A$ denota el conjunto absolutamente convexo de $A,$ que, por definición, es el subconjunto de $X$ convexo y equilibrado más pequeño que contiene a $A,$ entonces $A^{\circ }=[\mathrm{cobal}A{]}^{\circ }.$

Esta es una transformación afín de la definición geométrica, que tiene la útil caracterización de que el polar analítico funcional de la bola unitaria (en $X$) es precisamente la bola unitaria (en $Y$).

El prepolar o prepolar absoluto de un subconjunto $B$ de $Y$ es el conjunto:

${}^{\circ }B:=\{x\in X:\underset{b\in B}{\sup }|⟨x,b⟩|\le 1\}=\{x\in X:\sup |⟨x,B⟩|\le 1\}$

Muy a menudo, el prepolar de un subconjunto $B$ de $Y$ también se denomina polar o polar absoluto de $B$ y se denota por $B^{\circ }$; en la práctica, esta reutilización de la notación y de la palabra "polar" rara vez causa problemas (de ambigüedad) y muchos autores ni siquiera utilizan la palabra "prepolar".

El 'bipolar de un subconjunto $A$ de $X,$ a menudo denotado por $A^{\circ \circ },$ es el conjunto ${}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)$; eso es,

$A^{\circ \circ }:={}^{\circ }\left(A^{\circ }\right)=\{x\in X:\underset{y\in A^{\circ }}{\sup }|⟨x,y⟩|\le 1\}.$

Polar real

El polar real de un subconjunto $A$ de $X$ es el conjunto:

$A^r:=\{y\in Y:\underset{a\in A}{\sup }\mathrm{Re}⟨a,y⟩\le 1\}$

y el prepolar real de un subconjunto $B$ de $Y$ es el conjunto:

${}^{r}B:=\{x\in X:\underset{b\in B}{\sup }\mathrm{Re}⟨x,b⟩\le 1\}.$

Al igual que con el prepolar absoluto, el prepolar real generalmente se llama "polar real" y también se denota por $B^r.$Plantilla:Sfn. Es importante señalar que algunos autores (por ejemplo, [Schaefer 1999]) definen "polar" como "polar real" (en lugar de "polar absoluto", como se hace en este artículo) y utilizan la notación $A^{\circ }$ para ello (en lugar de la notación $A^r$ que se utiliza en este artículo y en [Narici 2011]).

El bipolar real de un subconjunto $A$ de $X,$ denotado a veces por $A^{rr},$ es el conjunto ${}^r\left(A^r\right)$; que es igual al cierre $\sigma (X,Y)$ de la envolvente convexa de $A\cup \{0\}.$Plantilla:Sfn

Para un subconjunto $A$ de $X,$ $A^r$ es convexo, $\sigma (Y,X)$ cerrado y contiene a $A^{\circ }.$Plantilla:Sfn En general, es posible que $A^{\circ }\ne A^r$, pero la igualdad se mantendrá si $A$ es equilibrado. Además, $A^{\circ }=(\mathrm{bal}\left(A^r\right))$ donde $\mathrm{bal}\left(A^r\right)$ denota la envolvente equilibrada de $A^r.$Plantilla:Sfn

Definiciones posibles

La definición de "polar" de un conjunto no está universalmente aceptada. Aunque en este artículo se definió "polar" como "polar absoluto", algunos autores definen "polar" como "polar real" y otros autores utilizan otras definiciones. No importa cómo un autor defina "polar", la notación $A^{\circ }$ casi siempre representa Plantilla:Enf de la definición (por lo que el significado de la notación $A^{\circ }$ puede variar de una fuente a otra). En particular, la polar de $A$ a veces se define como:

$A^{|r|}:=\{y\in Y:\underset{a\in A}{\sup }|\mathrm{Re}⟨a,y⟩|\le 1\}$

donde la notación es $A^{|r|}$ Plantilla:Enf.

Ahora se discute brevemente cómo se relacionan estas diversas definiciones entre sí y cuándo son equivalentes.

Siempre se considera el caso de que

$A^{\circ }\subseteq A^{|r|}\subseteq A^r$

y si $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ tiene un valor real (o de manera equivalente, si $X$ e $Y$ son espacios vectoriales sobre $ℝ$), entonces $A^{\circ }=A^{|r|}.$

Si $A$ es un conjunto simétrico (es decir, $-A=A$ o equivalentemente, $-A\subseteq A$), entonces $A^{|r|}=A^r$, donde si además $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ tiene un valor real, entonces $A^{\circ }=A^{|r|}=A^r.$

Si $X$ e $Y$ son espacios vectoriales sobre $ℂ$ (de modo que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ tiene valores complejos) y si $iA\subseteq A$ (donde debe tenerse en cuenta que esto implica $-A=A$ y $iA=A$), entonces

$A^{\circ }\subseteq A^{|r|}=A^r\subseteq {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}A\right)}^{\circ }$

donde si además $e^{ir}A\subseteq A$ para todos los $r$ reales, entonces $A^{\circ }=A^r.$

Por lo tanto, para que todas estas definiciones del conjunto polar de $A$ concuerden, es suficiente que $sA\subseteq A$ para todos los escalares $s$ de longitud unidad (donde esto es equivalente a que $sA=A$ para todos los escalares de longitud unitaria $s$). En particular, todas las definiciones del polar de $A$ coinciden cuando $A$ es un conjunto equilibrado (que suele ser el caso, pero no siempre), por lo que a menudo cuál de estas posibles definiciones se utiliza es irrelevante. Sin embargo, estas diferencias en las definiciones del "polar" de un conjunto $A$ a veces introducen diferencias técnicas sutiles o importantes cuando $A$ no está necesariamente equilibrado.

Especialización para la dualidad canónica

Espacio dual algebraico

Si $X$ es cualquier espacio vectorial, entonces $X^{\mathrm{\#}}$ denota el espacio dual de $X,$ que es el conjunto de todos los funcionales lineales en $X.$ El espacio vectorial $X^{\mathrm{\#}}$ es siempre un subconjunto cerrado del espacio ${𝕂}^X$ de todas las funciones valoradas en $𝕂$ en $X$ bajo la topología de convergencia puntual. Entonces, cuando $X^{\mathrm{\#}}$ está dotado de la topología subespacial, $X^{\mathrm{\#}}$ se convierte en un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo completo de Hausdorff. Para cualquier subconjunto $A\subseteq X,$ considérese que

$\begin{array}{cccc}{A}^{\mathrm{\#}}:=A^{\circ ,\mathrm{\#}}:=& \{f\in X^{\mathrm{\#}}:\underset{a\in A}{\sup }|f(a)|\le 1\}& & \\ =& \{f\in X^{\mathrm{\#}}:\sup |f(A)|\le 1\}& & \text{ donde }|f(A)|:=\{|f(a)|:a\in A\}\\ =& \{f\in X^{\mathrm{\#}}:f(A)\subseteq B_1\}& & \text{ donde }{B}_1:=\{s\in 𝕂:|s|\le 1\}.\\ \end{array}$

Si $A\subseteq B\subseteq X$ son subconjuntos, entonces $B^{\mathrm{\#}}\subseteq A^{\mathrm{\#}}$ y $A^{\mathrm{\#}}=[\mathrm{cobal}A{]}^{\mathrm{\#}},$ donde $\mathrm{cobal}A$ denota el conjunto absolutamente convexo de $A.$ Para cualquier subespacio vectorial de dimensión finita $Y$ de $X,$ denótese por ${\tau }_Y$ la topología euclídea en $Y,$ que es la topología única que convierte a $Y$ en un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff. Si $A_{\cup \mathrm{cl}\mathrm{Finito}}$ denota la unión de todas las clausuras, ${\mathrm{cl}}_{(Y,{\tau }_Y)}(Y\cap A)$ ya que $Y$ varía en todos los subespacios vectoriales de dimensión finita de $X,$ entonces $A^{\mathrm{\#}}={\left[A_{\cup \mathrm{cl}\mathrm{Finito}}\right]}^{\mathrm{\#}}$ (consúltese esta nota al pie para una explicación). Si $A$ es un subconjunto absorbente de $X$, entonces, según el teorema de Banach-Alaoglu, $A^{\mathrm{\#}}$ es un subconjunto compacto *débil de $X^{\mathrm{\#}}.$

Si $A\subseteq X$ es cualquier subconjunto no vacío de un espacio vectorial $X$ y si $Y$ es cualquier espacio vectorial de funcionales lineales en $X$ (es decir, un subespacio vectorial de espacios duales de $X$), entonces la aplicación de valores reales

$|\cdot {|}_A:Y\to ℝ$ Plantilla:Space definido por Plantilla:Space ${\left|x^{\prime }\right|}_A:=\sup |x^{\prime }(A)|:=\underset{a\in A}{\sup }|x^{\prime }(a)|$

es una seminorma en $Y.$ Si $A=\varnothing$ entonces, por definición de elemento supremo e ínfimo, $\sup |x^{\prime }(A)|=-\mathrm{\infty }$ de modo que la aplicación $|\cdot {|}_{\varnothing }=-\mathrm{\infty }$ definido anteriormente no tendría valor real y, en consecuencia, no sería una seminorma.

Espacio dual continuo

Supóngase que $X$ es un espacio vectorial topológico (EVT) con espacio dual $X^{\prime }.$ El caso especial importante donde $Y:=X^{\prime }$ y los corchetes representan la aplicación canónica:

$⟨x,x^{\prime }⟩:=x^{\prime }(x)$

se considera ahora. El triplete formado por $⟨X,X^{\prime }⟩$ asociado con $X$ es el llamado Plantilla:Enf.

La polar de un subconjunto $A\subseteq X$ con respecto a este emparejamiento canónico es:

$\begin{array}{cccc}{A}^{\circ }:=& \{x^{\prime }\in X^{\prime }:\underset{a\in A}{\sup }|x^{\prime }(a)|\le 1\}& & \text{ porque }⟨a,x^{\prime }⟩:=x^{\prime }(a)\\ =& \{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup |x^{\prime }(A)|\le 1\}& & \text{ donde }|x^{\prime }(A)|:=\{|x^{\prime }(a)|:a\in A\}\\ =& \{x^{\prime }\in X^{\prime }:x^{\prime }(A)\subseteq B_1\}& & \text{ donde }{B}_1:=\{s\in 𝕂:|s|\le 1\}.\\ \end{array}$

Para cualquier subconjunto $A\subseteq X,$ $A^{\circ }={\left[{\mathrm{cl}}_{X}A\right]}^{\circ }$ donde ${\mathrm{cl}}_{X}A$ denota la clausura de $A$ en $X.$

El teorema de Banach-Alaoglu establece que si $A\subseteq X$ es un entorno del origen en $X$, entonces $A^{\circ }=A^{\mathrm{\#}}$ y este conjunto polar es un subconjunto compacto del espacio dual continuo $X^{\prime }$ cuando $X^{\prime }$ está dotado de topología *débil (también conocida como topología de convergencia puntual).

Si $A$ satisface $sA\subseteq A$ para todos los escalares $s$ de longitud unitaria, entonces se pueden reemplazar los signos de valor absoluto por $\mathrm{Re}$ (el operador de parte real) de modo que:

$\begin{array}{cc}{A}^{\circ }=A^r:=& \{x^{\prime }\in X^{\prime }:\underset{a\in A}{\sup }\mathrm{Re}{x}^{\prime }(a)\le 1\}\\ =& \{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup \mathrm{Re}{x}^{\prime }(A)\le 1\}.\\ \end{array}$

El prepolar de un subconjunto $B$ de $Y=X^{\prime }$ es:

${}^{\circ }B:=\{x\in X:\underset{b^{\prime }\in B}{\sup }|b^{\prime }(x)|\le 1\}=\{x\in X:\sup |B(x)|\le 1\}$

Si $B$ satisface $sB\subseteq B$ para todos los escalares $s$ de longitud unitaria, entonces se pueden reemplazar los signos de valor absoluto con $\mathrm{Re}$ de modo que:

${}^{\circ }B=\{x\in X:\underset{b^{\prime }\in B}{\sup }\mathrm{Re}{b}^{\prime }(x)\le 1\}=\{x\in X:\sup \mathrm{Re}B(x)\le 1\}$

donde $B(x):=\{b^{\prime }(x):b^{\prime }\in B\}.$

El teorema bipolar caracteriza el bipolar de un subconjunto de un espacio vectorial topológico.

Si $X$ es un espacio normado y $S$ es la bola unitaria abierta o cerrada en $X$ (o incluso cualquier subconjunto de la bola unitaria cerrada que contiene la bola unitaria abierta), entonces $S^{\circ }$ es la bola unitaria cerrada en el espacio dual continuo $X^{\prime }$ cuando $X^{\prime }$ dotado de su norma dual canónica.

Definición geométrica de los conos

El cono polar de un cono convexo $A\subseteq X$ es el conjunto

$A^{\circ }:=\{y\in Y:\underset{x\in A}{\sup }⟨x,y⟩\le 0\}$

Esta definición da una dualidad en puntos e hiperplanos, escribiéndose estos últimos como la intersección de dos semiespacios orientados de manera opuesta. El hiperplano polar de un punto $x\in X$ es el lugar geométrico $\{y:⟨y,x⟩=0\}$. La relación dual para un hiperplano produce el punto polar de ese hiperplano.

Algunos autores (confusamente) llaman a un cono dual cono polar, y en este artículo no se sigue esta convención.

Propiedades

A menos que se indique lo contrario, $⟨X,Y⟩$ será un emparejamiento. La topología $\sigma (Y,X)$ es una topología *débil en $Y$, mientras que $\sigma (X,Y)$ es una topología débil en $X.$ Para cualquier conjunto $A,$ $A^r$ denota el polar real de $A$ y $A^{\circ }$ denota el polar absoluto de $A.$ El término "polar" se referirá al polar Plantilla:Enf.

• El polar (absoluto) de un conjunto es convexo y equilibrado.Plantilla:Sfn
• El polar real $A^r$ de un subconjunto $A$ de $X$ es convexo pero Plantilla:Enf necesariamente está equilibrado; $A^r$ estará equilibrado si $A$ está equilibrado.Plantilla:Sfn
• Si $sA\subseteq A$ para todos los escalares $s$ de longitud unidad, entonces $A^{\circ }=A^r.$
• $A^{\circ }$ es cerrado en $Y$ bajo una topología *débil en $Y$.
• Un subconjunto $S$ de $X$ está débilmente acotado (es decir, acotado por $\sigma (X,Y)$) si y solo si $S^{\circ }$ es absorbente en $Y$.Plantilla:Sfn
• Para un emparejamiento dual $⟨X,X^{\prime }⟩,$ donde $X$ es un EVT y $X^{\prime }$ es su espacio dual continuo, si $B\subseteq X$ está acotado entonces $B^{\circ }$ es absorbente en $X^{\prime }.$Plantilla:Sfn Si $X$ es localmente convexo y $B^{\circ }$ es absorbente en $X^{\prime }$, entonces $B$ está acotado en $X.$ Además, un subconjunto $S$ de $X$ está débilmente acotado si y solo si $S^{\circ }$ es absorbente en $X^{\prime }.$
• El $A^{\circ \circ }$ bipolar de un conjunto $A$ es la envolvente convexa $\sigma (X,Y)$ de $A\cup \{0\},$ que es el conjunto cerrado y convexo $\sigma (X,Y)$ más pequeño que contiene tanto a $A$ como a $0.$
  • De manera similar, el cono bidual de un cono $A$ es el $\sigma (X,Y)$ cerrado de una envolvente cónica de $A.$.
• Si $ℬ$ es una base en el origen para un EVT $X$, entonces $X^{\prime }=\bigcup _{B\in 𝔹}\left(B^{\circ }\right).$Plantilla:Sfn
• Si $X$ es un EVT localmente convexo, entonces las polares (tomadas con respecto a $⟨X,X^{\prime }⟩$) de cualquier base entorno de 0 forman una familia fundamental de subconjuntos equicontinuos de $X^{\prime }$ (es decir, dado cualquier subconjunto acotado $H$ de $X_{\sigma }^{\prime },$ existe un entorno $S$ del origen en $X$ tal que $H\subseteq S^{\circ }$).Plantilla:Sfn
  • Por el contrario, si $X$ es un EVT localmente convexo, entonces los polares (tomados con respecto a $⟨X,X^{\mathrm{\#}}⟩$) de cualquier familia fundamental de subconjuntos equicontinuos de $X^{\prime }$ forman una base en un entorno del origen en $X.$Plantilla:Sfn
• Sea $X$ un EVT con una topología $\tau .$ Entonces, $\tau$ es una topología en un EVT localmente convexa si y solo si $\tau$ es la topología de convergencia uniforme en los subconjuntos equicontinuos de $X^{\prime }.$Plantilla:Sfn

Los dos últimos resultados explican por qué los subconjuntos equicontinuos del espacio dual continuo juegan un papel tan destacado en la teoría moderna del análisis funcional: porque los subconjuntos equicontinuos encapsulan toda la información sobre la topología original del espacio localmente convexo $X$.

Otras relaciones

• $X^{\circ }=X^{|r|}=X^r=\{0\}$Plantilla:Sfn y ${\varnothing }^{\circ }={\varnothing }^{|r|}={\varnothing }^r=Y.$
• Para todos los escalares $s\ne 0,$ $(sA{)}^{\circ }=\frac{1}{s}\left(A^{\circ }\right)$ y para todos los $t\ne 0,$ $(tA{)}^{|r|}=\frac{1}{t}\left(A^{|r|}\right)$ y $(tA{)}^r=\frac{1}{t}\left(A^r\right)$ reales.
• $A^{\circ \circ \circ }=A^{\circ }.$ Sin embargo, para el polar real se tiene que $A^{rrr}\subseteq A^r.$Plantilla:Sfn
• Para cualquier colección finita de conjuntos $A_1,\dots ,A_n,$ :${(A_1\cap \cdots \cap A_n)}^{\circ }=\left(A_1^{\circ }\right)\cup \cdots \cup \left(A_n^{\circ }\right).$
• Si $A\subseteq B$, entonces $B^{\circ }\subseteq A^{\circ },$ $B^r\subseteq A^r,$ y $B^{|r|}\subseteq A^{|r|}.$
  • Un corolario inmediato es que $\bigcup _{i\in I}\left(A_i^{\circ }\right)\subseteq {\left(\bigcap _{i\in I}{A}_i\right)}^{\circ }$. La igualdad necesariamente se cumple cuando $I$ es finito y puede no cumplirse si $I$ es infinito.
• $\bigcap _{i\in I}\left(A_i^{\circ }\right)={\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)}^{\circ }$ y $\bigcap _{i\in I}\left(A_i^r\right)={\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i\right)}^r.$
• Si $C$ es un cono en $X$, entonces $C^{\circ }=\{y\in Y:⟨c,y⟩=0\text{ para todo }c\in C\}.$Plantilla:Sfn
• Si ${\left(S_i\right)}_{i\in I}$ es una familia de subconjuntos cerrados $\sigma (X,Y)$ de $X$ que contienen $0\in X,$ entonces el polar real de ${\cap }_{i\in I}{S}_i$ es el recubrimiento convexo cerrado de ${\cup }_{i\in I}\left(S_i^r\right).$Plantilla:Sfn
• Si $0\in A\cap B$ entonces $A^{\circ }\cap B^{\circ }\subseteq 2[(A+B{)}^{\circ }]\subseteq 2(A^{\circ }\cap B^{\circ }).$Plantilla:Sfn
• Para un cono convexo $C$ cerrado en un espacio vectorial real $X,$ el cono polar es el polar de $C$; es decir,

$C^{\circ }=\{y\in Y:\underset{}{\sup }⟨C,y⟩\le 0\},$

donde $\underset{}{\sup }⟨C,y⟩:=\underset{c\in C}{\sup }⟨c,y⟩.$

Véase también

• Teorema de Banach-Alaoglu
• Teorema bipolar
• Cono dual y cono polar
• Topología polar
• Espacio localmente convexo
• Espacio vectorial topológico

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
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