Topología débil

Este artículo trata sobre la topología débil en un espacio vectorial normado. Para la topología débil inducida por una familia general de aplicaciones, véase topología inicial. Para la topología débil generada por una cobertura de un espacio, véase topología coherente.

En matemáticas, topología débil es un término alternativo para ciertas topologías iniciales, a menudo asociadas a espacios vectoriales topológicos o a espacios de aplicaciones lineales, como por ejemplo en un espacio de Hilbert. El término se usa más comúnmente para la topología inicial de un espacio vectorial topológico (como un espacio vectorial normado) con respecto a su dual continuo. El resto de este artículo abordará este caso, que es uno de los conceptos propios del análisis funcional.

Se pueden llamar subconjuntos de un espacio vectorial topológico débilmente cerrados (respectivamente, débilmente compactos, etc.) si son cerrados (respectivamente, compactos, etc.) con respecto a la topología débil. Del mismo modo, las funciones a veces se denominan débilmente continuas (respectivamente, débilmente diferenciables, débilmente analíticas, etc.) si son continuas (respectivamente, diferenciables, analíticas, etc.) con respecto a la topología débil.

Historia

A principios del Plantilla:Siglo, David Hilbert y Marcel Riesz hicieron un uso extensivo de la convergencia débil. Los primeros pioneros del análisis funcional no elevaron la convergencia de normas por encima de la convergencia débil y, a menudo, consideraron que la convergencia débil era preferible.Plantilla:Sfn En 1929, Banach introdujo la convergencia débil para espacios normados y también introdujo la convergencia *débil análoga.Plantilla:Sfn La topología débil también se llama Plantilla:Lang en francés y Plantilla:Lang en alemán.

Las topologías débil y fuerte

Sea $𝕂$ un cuerpo topológico, es decir, un cuerpo con una topología tal que la suma, la multiplicación y la división sean continuas. En la mayoría de las aplicaciones, $𝕂$ será el cuerpo de los números complejos o el campo de los números reales con las topologías usuales.

Topología débil con respecto a un emparejamiento

Tanto la topología débil como la topología *débil son casos especiales de una construcción más general para emparejamientos, que se describen a continuación. El beneficio de esta construcción más general es que cualquier definición o resultado demostrado se aplica tanto a la topología débil como a la topología *débil, lo que hace redundante la necesidad de muchas definiciones, enunciados de teoremas y demostraciones. Esta es también la razón por la que la topología *débil también se denomina frecuentemente "topología débil", debido a que es solo un ejemplo de la topología débil en el marco de esta construcción más general.

Supóngase que Plantilla:Math es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre un campo topológico $𝕂$ (es decir, Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar son espacios vectoriales sobre $𝕂$ y Plantilla:Math es un operador bilineal).

Notación. Para todo Plantilla:Math, denótese como Plantilla:Math la función lineal en Plantilla:Mvar definida por Plantilla:Math. De manera similar, para todo Plantilla:Math, defínase Plantilla:Math por Plantilla:Math.

Definición. La topología débil en Plantilla:Mvar inducida por Plantilla:Mvar (y Plantilla:Mvar) es la topología más débil en Plantilla:Mvar, indicada por Plantilla:Math o simplemente Plantilla:Math, lo que hace que todas las aplicaciones Plantilla:Math sean continuas, como rangos de Plantilla:Mvar sobre Plantilla:Mvar.Plantilla:Sfn

La topología débil en Plantilla:Mvar ahora se define automáticamente como se describe en el artículo sistema dual. Sin embargo, para mayor claridad, se define a continuación.

Definición. La topología débil en Plantilla:Mvar inducida por Plantilla:Mvar (y Plantilla:Mvar) es la topología más débil en Plantilla:Mvar, indicada por Plantilla:Math o simplemente Plantilla:Math, lo que hace que todas las aplicaciones Plantilla:Math sean continuas, como rangos de Plantilla:Mvar sobre Plantilla:Mvar.Plantilla:Sfn

Si el cuerpo $𝕂$ tiene un valor absoluto Plantilla:Math, entonces la topología débil Plantilla:Math en Plantilla:Mvar es inducida por la familia de seminormas, Plantilla:Math, definida por

Plantilla:Math

para todos los Plantilla:Math y Plantilla:Math. Esto muestra que las topologías débiles son localmente convexas.

Supuesto. De ahora en adelante se asume que $𝕂$ es el cuerpo de los números reales $ℝ$ o el de los números complejos $ℂ$.

Dualidad canónica

Ahora considérese el caso especial donde Plantilla:Mvar es un subespacio vectorial del espacio dual de Plantilla:Mvar (es decir, un espacio vectorial de funcionales lineales en Plantilla:Mvar).

Existe un par, denotado por $(X,Y,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ o $(X,Y)$, llamado emparejado canónico cuya aplicación bilineal $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ es la aplicación de evaluación canónica, definida por $⟨x,x^{\prime }⟩=x^{\prime }(x)$ para todos los $x\in X$ y $x^{\prime }\in Y$. Téngase en cuenta en particular que $⟨\cdot ,x^{\prime }⟩$ es solo otra forma de indicar $x^{\prime }$, es decir, $⟨\cdot ,x^{\prime }⟩=x^{\prime }(\cdot )$.

Supuesto. Si Plantilla:Mvar es un subespacio vectorial del espacio dual de Plantilla:Mvar, entonces se asume que están asociados con el emparejamiento canónico Plantilla:Math.

En este caso, la topología débil en Plantilla:Mvar (respectivamente, la topología débil en Plantilla:Var), denotada por Plantilla:Math (respectivamente, por Plantilla:Math) es la topología débil en Plantilla:Mvar (respectivamente, en Plantilla:Mvar) con respecto al emparejamiento canónico Plantilla:Math.

La topología Plantilla:Math es la topología inicial de Plantilla:Mvar con respecto a Plantilla:Mvar.

Si Plantilla:Mvar es un espacio vectorial de funcionales lineales en Plantilla:Mvar, entonces el dual continuo de Plantilla:Mvar con respecto a la topología Plantilla:Math es precisamente igual a Plantilla:Mvar.Plantilla:SfnPlantilla:Harv

Las topologías débil y *débil

Sea Plantilla:Mvar un espacio vectorial topológico (EVT) sobre $𝕂$, es decir, Plantilla:Mvar es un $𝕂$ espacio vectorial equipado con una topología de modo que la suma de vectores y la multiplicación escalar sean continuos. Se recurre a la topología sobre Plantilla:Mvar original o topología dada (se advierte al lector contra el uso de los términos "topología inicial" y "topología fuerte" para hacer referencia a la topología original, ya que estos ya tienen significados bien conocidos, por lo que usarlos puede causar confusión). Se puede definir una topología que puede ser diferente en Plantilla:Mvar utilizando el espacio dual topológico o $X^{*}$, que consta de todos los funcionales lineales desde Plantilla:Mvar al cuerpo base $𝕂$ que son continuos con respecto a la topología dada.

Debe recordarse que $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ es la aplicación de evaluación canónica definida por $⟨x,x^{\prime }⟩=x^{\prime }(x)$ para todos los $x\in X$ y $x^{\prime }\in X^{*}$, donde en particular $⟨\cdot ,x^{\prime }⟩=x^{\prime }(\cdot )=x^{\prime }$.

Definición. La topología débil en Plantilla:Mvar es la topología débil en Plantilla:Mvar con respecto al emparajamiento canónico $⟨X,X^{*}⟩$. Es decir, es la topología más débil en Plantilla:Mvar, lo que hace que todas las aplicaciones $x^{\prime }=⟨\cdot ,x^{\prime }⟩:X\to 𝕂$ sean continuas, ya que $x^{\prime }$ abarca a $X^{*}$.Plantilla:Sfn

Definición: la topología débil en $X^{*}$ es la topología débil en $X^{*}$ con respecto al emparejamiento canónico $⟨X,X^{*}⟩$. Es decir, es la topología más débil en $X^{*}$, lo que hace que todas las aplicaciones $⟨x,\cdot ⟩:X^{*}\to 𝕂$ sean continuas, ya que Plantilla:Mvar abarca a Plantilla:Mvar.Plantilla:Sfn Esta topología también se denomina topología *débil.

A continuación se dan definiciones alternativas.

Topología débil inducida por el espacio dual continuo

Alternativamente, la topología débil en un EVT Plantilla:Mvar es la topología inicial con respecto a la familia $X^{*}$. En otras palabras, es la topología más gruesa en X tal que cada elemento de $X^{*}$ sigue siendo una función continua.

Una subbase para la topología débil es la colección de conjuntos de la forma ${\varphi }^{-1}(U)$, donde $\varphi \in X^{*}$ y Plantilla:Mvar son un subconjunto abierto del cuerpo base $𝕂$. En otras palabras, un subconjunto de Plantilla:Mvar es abierto en la topología débil si y solo si puede escribirse como una unión (que puede ser infinita) de conjuntos, cada uno de los cuales es una intersección de un número finito de conjuntos de la forma ${\varphi }^{-1}(U)$.

Desde este punto de vista, la topología débil es la topología polar más gruesa.

Convergencia débil

La topología débil se caracteriza por la siguiente condición: una red $(x_{\lambda })$ en Plantilla:Mvar converge en la topología débil al elemento Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar si y solo si $\varphi (x_{\lambda })$ converge a $\varphi (x)$ en $ℝ$ o $ℂ$ para todos los $\varphi \in X^{*}$.

En particular, si $x_n$ es una sucesión en Plantilla:Mvar, entonces $x_n$ converge débilmente con Plantilla:Mvar si

$\phi (x_n)\to \phi (x)$

cuando Plantilla:Math para todos los $\phi \in X^{*}$. En este caso, se acostumbra escribir

$x_n\stackrel{\mathrm{w}}{⟶}x$

o algunas veces,

$x_n\rightharpoonup x.$

Otras propiedades

Si Plantilla:Mvar está equipado con una topología débil, entonces la suma y la multiplicación escalar siguen siendo operaciones continuas, y Plantilla:Mvar es un espacio vectorial topológico localmente convexo.

Si Plantilla:Mvar es un espacio normado, entonces el espacio dual $X^{*}$ es en sí mismo un espacio vectorial normado utilizando la norma

$\Vert \varphi \Vert =\underset{\Vert x\Vert \le 1}{\sup }|\varphi (x)|.$

Esta norma da lugar a una topología, denominada topología fuerte, en $X^{*}$, que es la topología de convergencia uniforme. Las topologías uniformes y fuertes son generalmente diferentes para otros espacios de aplicaciones lineales (véase más abajo).

Topología *débil

La topología *débil es un ejemplo importante de topología polar.

Un espacio Plantilla:Mvar se puede encajar en su doble dual X** mediante

$x\mapsto \{\begin{array}{c}{T}_x:X^{*}\to 𝕂\\ T_x(\varphi )=\varphi (x)\end{array}$

Por lo tanto, $T:X\to X^{**}$ es una aplicación lineal inyectiva, aunque no necesariamente sobreyectiva (los espacios para los cuales este embebido canónico es sobreyectivo se denominan reflexivos). La topología *débil en $X^{*}$ es la topología débil inducida por la imagen de $T:T(X)\subset X^{**}$. En otras palabras, es la topología más gruesa tal que las aplicaciones T_x, definidas por $T_x(\varphi )=\varphi (x)$ desde $X^{*}$ hasta el cuerpo base $ℝ$ o $ℂ$ permanecen continuas.

Convergencia *débil

Una red ${\varphi }_{\lambda }$ en $X^{*}$ es convergente a $\varphi$ en la topología *débil si converge puntualmente:

${\varphi }_{\lambda }(x)\to \varphi (x)$

para todos los $x\in X$. En particular, una sucesión de ${\varphi }_n\in X^{*}$ converge a $\varphi$ siempre que

${\varphi }_n(x)\to \varphi (x)$

para todos los Plantilla:Math. En este caso, se escribe

${\varphi }_n\stackrel{w^{*}}{\to }\varphi$

cuando Plantilla:Math.

La convergencia *débil a veces se denomina convergencia simple o convergencia puntual. De hecho, coincide con la convergencia puntual de funcionales lineales.

Propiedades

Si Plantilla:Mvar es un espacio localmente convexo separable (es decir, tiene un subconjunto denso numerable) y H es un subconjunto acotado por normas de su espacio dual continuo, entonces H dotado con la topología *débil (del subespacio) es un espacio topológico metrizable.Plantilla:Sfn Sin embargo, para espacios de dimensión infinita, la métrica no puede ser invariante respecto a la traslación.Plantilla:Sfn Si Plantilla:Mvar es un espacio metrizable localmente convexo separable, entonces la topología *débil en el espacio dual continuo de Plantilla:Mvar es separable.Plantilla:Sfn

Propiedades en espacios normados

Por definición, la topología *débil es más débil que la topología débil en $X^{*}$. Un hecho importante acerca de la topología *débil es el teorema de Banach-Alaoglu: si Plantilla:Mvar está normado, entonces la bola unitaria cerrada en $X^{*}$ es *débilmente compacta (de manera más general, el polar en $X^{*}$ de un entorno de 0 en Plantilla:Mvar es *débilmente compacto). Además, la bola unitaria cerrada en un espacio normado Plantilla:Mvar es compacta en la topología débil si y solo si Plantilla:Mvar es reflexivo.

En términos más generales, sea Plantilla:Mvar un cuerpo valorado localmente compacto (por ejemplo, los números reales, los números complejos o cualquiera de los sistemas numéricos p-ádicos). Sea Plantilla:Mvar un espacio vectorial topológico normado sobre Plantilla:Mvar, compatible con el valor absoluto en Plantilla:Mvar. Entonces, en $X^{*}$ (el espacio topológico dual de Plantilla:Mvar de los funcionales lineales continuos con valores Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar), todas las bolas de norma cerrada son compactas en la topología *débil.

Si Plantilla:Mvar es un espacio normado, se cumple una versión del teorema de Heine-Borel. En particular, un subconjunto del dual continuo es *débil compacto si y solo si es *débil cerrado y acotado por normas.Plantilla:Sfn Esto implica, en particular, que cuando Plantilla:Mvar es un espacio normado de dimensión infinita, entonces la bola unitaria cerrada en el origen en el espacio dual de Plantilla:Mvar no contiene ningún entorno de 0 *débil (ya que cualquiera de estas vecindades es ilimitada en cuanto a normas).Plantilla:Sfn Por lo tanto, aunque las bolas de norma cerrada son compactas, X* no es localmente compacto *débil.

Si Plantilla:Mvar es un espacio normado, entonces Plantilla:Mvar es separable si y solo si la topología *débil en la bola unitaria cerrada de $X^{*}$ es metrizable,Plantilla:Sfn en cuyo caso la topología *débil es metrizable en subconjuntos acotados por normas de $X^{*}$. Si un espacio normado Plantilla:Mvar tiene un espacio dual que es separable (con respecto a la topología de la norma dual), entonces Plantilla:Mvar es necesariamente separable.Plantilla:Sfn Si Plantilla:Mvar es un espacio de Banach, la topología *débil no es metrizable en todo $X^{*}$ a menos que Plantilla:Mvar sea de dimensión finita.

Ejemplos

Espacios de Hilbert

Considérese, por ejemplo, la diferencia entre convergencia fuerte y débil de funciones en un espacio de Hilbert Plantilla:Math. La convergencia fuerte de una sucesión ${\psi }_k\in L^2({ℝ}^n)$ con un elemento Plantilla:Mvar significa que

$\underset{{ℝ}^n}{\int }|{\psi }_k-\psi {|}^2\mathrm{d}\mu \to 0$

cuando Plantilla:Math. Aquí, la noción de convergencia corresponde a la norma en Plantilla:Math.

Por el contrario, una convergencia débil solo exige que

$\underset{{ℝ}^n}{\int }{\overline{\psi }}_{k}f\mathrm{d}\mu \to \underset{{ℝ}^n}{\int }\overline{\psi }f\mathrm{d}\mu$

para todas las funciones Plantilla:Math (o, más típicamente, todas las f en un conjunto denso de Plantilla:Math, como un espacio de funciones de prueba, si la sucesión {ψ_k} está acotada). Para funciones de prueba dadas, la noción relevante de convergencia solo corresponde a la topología utilizada en $ℂ$.

Por ejemplo, en el espacio de Hilbert Plantilla:Math, la sucesión de funciones

${\psi }_k(x)=\sqrt{2/\pi }\sin (kx)$

forma una base ortonormal. En particular, el límite (fuerte) de ${\psi }_k$ cuando Plantilla:Math no existe. Por otro lado, según el lema de Riemann-Lebesgue, el límite débil existe y es cero.

Distribuciones

Normalmente se obtienen espacios de distribuciones formando el dual fuerte de un espacio de funciones de prueba (como las funciones suaves soportadas de forma compacta en ${ℝ}^n$). En una construcción alternativa de tales espacios, se puede tomar el dual débil de un espacio de funciones de prueba dentro de un espacio de Hilbert como Plantilla:Math. Por lo tanto, es obligado considerar la idea de un espacio de Hilbert equipado.

Topología débil inducida por el dual algebraico

Supóngase que Plantilla:Mvar es un espacio vectorial, y que X^# es el espacio dual de Plantilla:Mvar (es decir, el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en Plantilla:Mvar). Si Plantilla:Mvar está dotado de la topología débil inducida por X^#, entonces el espacio dual continuo de Plantilla:Mvar es Plantilla:Math, cada subconjunto acotado de Plantilla:Mvar está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita de Plantilla:Mvar, cada subespacio vectorial de Plantilla:Mvar es cerrado y tiene un subespacio complementado.Plantilla:Sfn

Topologías de operadores

Si Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar son espacios vectoriales topológicos, el espacio Plantilla:Math de operadores lineales continuos Plantilla:Math puede llevar asociadas diferentes topologías posibles. La denominación de dichas topologías depende del tipo de topología que se utilice en el espacio objetivo Plantilla:Mvar para definir la convergencia del operador. En general, existe una amplia gama de topologías de operadores posibles sobre Plantilla:Math, cuya denominación no es del todo intuitiva.

Por ejemplo, la topología de operador fuerte en Plantilla:Math es la topología de convergencia puntual. Otro ejemplo: si Plantilla:Mvar es un espacio normado, entonces esta topología está definida por las seminormas indexadas por Plantilla:Math:

$f\mapsto \Vert f(x){\Vert }_Y.$

De manera más general, si una familia de seminormas Q define la topología en Plantilla:Mvar, entonces las seminormas Plantilla:Math en Plantilla:Math que definen la topología fuerte vienen dadas por

$p_{q,x}:f\mapsto q(f(x)),$

indexado por Plantilla:Math y Plantilla:Math.

En particular, consúltese topología de operador débil y topología de operador *débil.

Véase también

• Compacto de Eberlein, un conjunto compacto en topología débil
• Convergencia débil (espacio de Hilbert)
• Topología del operador *débil
• Convergencia débil de medidas
• Topologías en espacios de aplicaciones lineales
• Topologías de operadores
• Topología vaga

Bibliografía

• Plantilla:Citation
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cita libro
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