Bornología vectorial

En matemáticas, especialmente en análisis funcional, se denomina bornología vectorial a una bornología $ℬ$ en un espacio vectorial $X$ sobre un cuerpo $𝕂,$ (donde $𝕂$ posee una bornología B_$𝔽$), si $ℬ$ convierte las operaciones del espacio vectorial en aplicaciones acotadas.

Definiciones

Requisitos previos

Una Plantilla:Enf en un conjunto $X$ es una colección $ℬ$ de subconjuntos de $X$ que satisfacen todas las condiciones siguientes:

1. $ℬ$ recubre $X;$, es decir, $X=\cup ℬ$
2. $ℬ$ es estable bajo inclusiones; es decir, si $B\in ℬ$ y $A\subseteq B,$ entonces $A\in ℬ$
3. $ℬ$ es estable bajo uniones finitas; es decir, si $B_1,\dots ,B_n\in ℬ$ entonces $B_1\cup \cdots \cup B_n\in ℬ$

Los elementos de la colección $ℬ$ se denominan Plantilla:Enf o simplemente Plantilla:Enf si se sobreentiende que $ℬ$. El par $(X,ℬ)$ se denomina Plantilla:Enf o Plantilla:Enf.

Una Plantilla:Enf o Plantilla:Enf de una bornología $ℬ$ es un subconjunto ${ℬ}_0$ de $ℬ$ tal que cada elemento de $ℬ$ es un subconjunto de algún elemento de ${ℬ}_0.$ Dada una colección $𝒮$ de subconjuntos de $X,$ la bornología más pequeña que contiene $𝒮$ se llama bornología generada por $𝒮.$Plantilla:Sfn

Si $(X,ℬ)$ e $(Y,𝒞)$ son conjuntos bornológicos, entonces su Plantilla:Enf sobre $X\times Y$ es la bornología que tiene como base la colección de todos los conjuntos de la forma $B\times C,$ donde $B\in ℬ$ y $C\in 𝒞.$Plantilla:Sfn Un subconjunto de $X\times Y$ está acotado en la bornología del producto si y solo si su imagen bajo las proyecciones canónicas sobre $X$ e $Y$ están acotadas.

Si $(X,ℬ)$ e $(Y,𝒞)$ son conjuntos bornológicos, entonces se dice que una función $f:X\to Y$ es una Plantilla:Enf o una Plantilla:Enf (con respecto a estas bornologías) si asigna subconjuntos acotados $ℬ$ de $X$ a subconjuntos acotados $𝒞$ de $Y;$, es decir, si $f\left(ℬ\right)\subseteq 𝒞.$ (078)Plantilla:Sfn Si además $f$ es una biyección y $f^{-1}$ también está acotada, entonces $f$ se denomina Plantilla:Enf.

Bornología vectorial

Sea $X$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $𝕂$ donde $𝕂$ tiene una bornología ${ℬ}_{𝕂}.$ Una bornología $ℬ$ en $X$ se llama Plantilla:Enf si es estable ante la suma de vectores, la multiplicación escalar y la formación de conjuntos equilibrados (es decir, si la suma de dos conjuntos acotados está acotada, etc.).

Si $X$ es un espacio vectorial y $ℬ$ es una bornología en $X,$ entonces lo siguiente es equivalente:

1. $ℬ$ es una bornología vectorial.
2. Las sumas finitas y los cascos equilibrados de conjuntos acotados por $ℬ$ están acotados por $ℬ$Plantilla:Sfn
3. La aplicación multiplicación escalar $𝕂\times X\to X$ definida por $(s,x)\mapsto sx$ y la aplicación suma $X\times X\to X$ definida por $(x,y)\mapsto x+y,$ están acotadas cuando sus dominios llevan sus bornologías producto (es decir, asignan subconjuntos acotados a subconjuntos acotados).Plantilla:Sfn

Una bornología vectorial $ℬ$ se llama Plantilla:Enf si es estable bajo la formación de la envolvente convexa (es decir, la envolvente convexa de un conjunto acotado está acotada), entonces $ℬ.$ Y una bornología vectorial $ℬ$ se llama Plantilla:Enf si el único subespacio vectorial acotado de $X$ es el espacio trivial de dimensión 0 $\{0\}.$

Por lo general, $𝕂$ son números reales o complejos, en cuyo caso una bornología vectorial $ℬ$ sobre $X$ se llamará Plantilla:Enf si $ℬ$ tiene una base que consta de conjuntos convexos.

Caracterizaciones

Supóngase que $X$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo $𝔽$ de los números reales o de los complejos y $ℬ$ es una bornología en $X.$ Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:

1. $ℬ$ es una bornología vectorial.
2. La suma y la multiplicación escalar son aplicaciones acotadas.Plantilla:Sfn
3. La envolvente equilibrada de cada elemento de $ℬ$ es un elemento de $ℬ$ y la suma de dos elementos cualesquiera de $ℬ$ es nuevamente un elemento de $ℬ$Plantilla:Sfn

Bornología en un espacio vectorial topológico

Si $X$ es un espacio vectorial topológico, entonces el conjunto de todos los subconjuntos acotados de $X$ de una bornología vectorial en $X$ llamada Plantilla:Enf, Plantilla:Enf, o simplemente la Plantilla:Enf de $X$ y se la conoce como Plantilla:Enf.Plantilla:Sfn En cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo $X,$ el conjunto de todos los discos acotados cerrados forma una base para la bornología habitual de $X.$Plantilla:Sfn.

A menos que se indique lo contrario, siempre se supone que los números reales o complejos están dotados de la bornología habitual.

Topología inducida por una bornología vectorial

Supóngase que $X$ es un espacio vectorial sobre el cuerpo $𝕂$ de los números reales o los complejos y $ℬ$ es una bornología vectorial sobre $X.$ Sea $𝒩$ todos aquellos subconjuntos $N$ de $X$ que son convexos, equilibrados y bornívoros. Entonces $𝒩$ forma una base de entornos en el origen para una topología localmente convexa.

Ejemplos

Espacio localmente convexo de funciones acotadas

Sea $𝕂$ el conjunto de los números reales o complejos (dotados de sus bornologías habituales), sea $(T,ℬ)$ una estructura acotada y denótese con $LB(T,𝕂)$ el espacio vectorial de todas las aplicaciones valoradas en $𝕂$ acotadas localmente en $T.$ Para cada $B\in ℬ,$ sea $p_B(f):=\sup |f(B)|$ para todos los $f\in LB(T,𝕂),$ donde esto define una seminorma en $X.$ La topología del espacio vectorial topológico localmente convexo en $LB(T,𝕂)$ definido por la familia de seminormas $\{p_B:B\in ℬ\}$ se denomina Plantilla:Enf.Plantilla:Sfn Esta topología convierte a $LB(T,𝕂)$ en un espacio métrico completo.Plantilla:Sfn

Bornología de la equicontinuidad

Sea $T$ un espacio topológico, sean $𝕂$ los números reales o complejos, y sea $C(T,𝕂)$ el espacio vectorial de todas las aplicaciones continuas con valores $𝕂$ en $T.$ El conjunto de todos los subconjuntos equicontinuos de $C(T,𝕂)$ forma una bornología vectorial en $C(T,𝕂).$Plantilla:Sfn

Véase también

• Conjunto bornívoro
• Espacio bornológico
• Bornología
• Espacio de aplicaciones lineales
• Espacio ultrabornológico

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro