Conjunto bornívoro
En análisis funcional, un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo que tiene definida una bornología vectorial asociada se denomina conjunto bornívoro o simplemente bornívoro, si absorbe a cada elemento de Si es un espacio vectorial topológico (EVT), entonces un subconjunto de es bornívoro si es bornívoro con respecto a la bornología de von-Neumann de .
Los conjuntos bornívoros juegan un papel importante en las definiciones de muchas clases de espacios vectoriales topológicos, particularmente del espacio bornológico.
Definiciones
Si es un EVT, entonces un subconjunto de se llama Plantilla:AnclavisPlantilla:Sfn si absorbe cada subconjunto acotado de
Un disco absorbente en un espacio localmente convexo es bornívoro si y solo si su funcional de Minkowski está limitado localmente (es decir, asigna conjuntos acotados a conjuntos acotados).Plantilla:Sfn
Conjuntos infrabornívoros y aplicaciones infraacotadas
Una aplicación lineal entre dos EVT se denomina Plantilla:Anclavissi asigna discos de Banach a discos acotados.Plantilla:Sfn
Un disco en se llama Plantilla:Anclavissi absorbe a cualquier disco de Banach.Plantilla:Sfn
Un disco absorbente en un espacio localmente convexo es infrabornívoro si y solo si su funcional de Minkowski está infraacotado.Plantilla:Sfn Un disco en un espacio de Hausdorff localmente convexo es infrabornívoro si y solo si absorbe todos los discos compactos (es decir, si es Plantilla:AnclavisPlantilla:Sfn
Propiedades
Cada subconjunto bornívoro o infrabornívoro de un EVT es absorbente. En un EVT pseudometrizable, cada subconjunto bornívoro es un entorno del origen.Plantilla:Sfn
Dos topologías en el mismo espacio vectorial EVT tienen los mismos subconjuntos acotados si y solo si tienen los mismos subconjuntos bornívoros.Plantilla:Sfn
Supóngase que es un subespacio vectorial de codimensión finita en un espacio localmente convexo y Si es un barril (respectivamente, barril bornívoro y disco bornívoro) en , entonces existe un barril (respectivamente, barril bornívoro y disco bornívoro) en tal que Plantilla:Sfn
Ejemplos y condiciones suficientes
Cada entorno del origen en un EVT es bornívoro. La envolvente convexa, la envolvente convexa cerrada y la envolvente equilibrada de un conjunto de bornívoros son nuevamente bornívoras. La preimagen de un bornívoro bajo una aplicación lineal acotada es un bornívoro.Plantilla:Sfn
Si es un EVT en el que cada subconjunto acotado está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita, entonces cada conjunto absorbente es un bornívoro.Plantilla:Sfn
Contraejemplos
Sea un espacio vectorial sobre los reales. Si es el recubrimiento equilibrado del segmento rectilíneo cerrado entre y , entonces no es bornívoro, pero el recubrimiento convexo de sí que lo es. Si es el triángulo cerrado y "relleno" con vértices y , entonces es un conjunto convexo que no es bornívoro, pero su envolvente equilibrada sí que lo es.
Véase también
- Operador lineal acotado
- Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
- Espacio bornológico
- Bornología
- Espacio de aplicaciones lineales
- Espacio ultrabornológico
- Bornología vectorial