Bornología vectorial

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En matemáticas, especialmente en análisis funcional, se denomina bornología vectorial a una bornología ℬ en un espacio vectorial X sobre un cuerpo 𝕂, (donde 𝕂 posee una bornología B𝔽), si ℬ convierte las operaciones del espacio vectorial en aplicaciones acotadas.

Definiciones

Requisitos previos

Plantilla:AP

Una Plantilla:Enf en un conjunto X es una colección ℬ de subconjuntos de X que satisfacen todas las condiciones siguientes:

  1. ℬ recubre X;, es decir, X=∪ℬ
  2. ℬ es estable bajo inclusiones; es decir, si B∈ℬ y A⊆B, entonces A∈ℬ
  3. ℬ es estable bajo uniones finitas; es decir, si B1,…,Bn∈ℬ entonces B1∪⋯∪Bn∈ℬ

Los elementos de la colección ℬ se denominan Plantilla:Enf o simplemente Plantilla:Enf si se sobreentiende que ℬ. El par (X,ℬ) se denomina Plantilla:Enf o Plantilla:Enf.

Una Plantilla:Enf o Plantilla:Enf de una bornología ℬ es un subconjunto ℬ0 de ℬ tal que cada elemento de ℬ es un subconjunto de algún elemento de ℬ0. Dada una colección 𝒮 de subconjuntos de X, la bornología más pequeña que contiene 𝒮 se llama bornología generada por 𝒮.Plantilla:Sfn

Si (X,ℬ) e (Y,𝒞) son conjuntos bornológicos, entonces su Plantilla:Enf sobre X×Y es la bornología que tiene como base la colección de todos los conjuntos de la forma B×C, donde B∈ℬ y C∈𝒞.Plantilla:Sfn Un subconjunto de X×Y está acotado en la bornología del producto si y solo si su imagen bajo las proyecciones canónicas sobre X e Y están acotadas.


Si (X,ℬ) e (Y,𝒞) son conjuntos bornológicos, entonces se dice que una función f:X→Y es una Plantilla:Enf o una Plantilla:Enf (con respecto a estas bornologías) si asigna subconjuntos acotados ℬ de X a subconjuntos acotados 𝒞 de Y;, es decir, si f(ℬ)⊆𝒞. (078)Plantilla:Sfn Si además f es una biyección y f−1 también está acotada, entonces f se denomina Plantilla:Enf.

Bornología vectorial

Sea X un espacio vectorial sobre un cuerpo 𝕂 donde 𝕂 tiene una bornología ℬ𝕂. Una bornología ℬ en X se llama Plantilla:Enf si es estable ante la suma de vectores, la multiplicación escalar y la formación de conjuntos equilibrados (es decir, si la suma de dos conjuntos acotados está acotada, etc.).

Si X es un espacio vectorial y ℬ es una bornología en X, entonces lo siguiente es equivalente:

  1. ℬ es una bornología vectorial.
  2. Las sumas finitas y los cascos equilibrados de conjuntos acotados por ℬ están acotados por ℬPlantilla:Sfn
  3. La aplicación multiplicación escalar 𝕂×X→X definida por (s,x)↦sx y la aplicación suma X×X→X definida por (x,y)↦x+y, están acotadas cuando sus dominios llevan sus bornologías producto (es decir, asignan subconjuntos acotados a subconjuntos acotados).Plantilla:Sfn

Una bornología vectorial ℬ se llama Plantilla:Enf si es estable bajo la formación de la envolvente convexa (es decir, la envolvente convexa de un conjunto acotado está acotada), entonces ℬ. Y una bornología vectorial ℬ se llama Plantilla:Enf si el único subespacio vectorial acotado de X es el espacio trivial de dimensión 0 {0}.

Por lo general, 𝕂 son números reales o complejos, en cuyo caso una bornología vectorial ℬ sobre X se llamará Plantilla:Enf si ℬ tiene una base que consta de conjuntos convexos.

Caracterizaciones

Supóngase que X es un espacio vectorial sobre el cuerpo 𝔽 de los números reales o de los complejos y ℬ es una bornología en X. Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:

  1. ℬ es una bornología vectorial.
  2. La suma y la multiplicación escalar son aplicaciones acotadas.Plantilla:Sfn
  3. La envolvente equilibrada de cada elemento de ℬ es un elemento de ℬ y la suma de dos elementos cualesquiera de ℬ es nuevamente un elemento de ℬPlantilla:Sfn

Bornología en un espacio vectorial topológico

Si X es un espacio vectorial topológico, entonces el conjunto de todos los subconjuntos acotados de X de una bornología vectorial en X llamada Plantilla:Enf, Plantilla:Enf, o simplemente la Plantilla:Enf de X y se la conoce como Plantilla:Enf.Plantilla:Sfn En cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo X, el conjunto de todos los discos acotados cerrados forma una base para la bornología habitual de X.Plantilla:Sfn.

A menos que se indique lo contrario, siempre se supone que los números reales o complejos están dotados de la bornología habitual.

Topología inducida por una bornología vectorial

Supóngase que X es un espacio vectorial sobre el cuerpo 𝕂 de los números reales o los complejos y ℬ es una bornología vectorial sobre X. Sea 𝒩 todos aquellos subconjuntos N de X que son convexos, equilibrados y bornívoros. Entonces 𝒩 forma una base de entornos en el origen para una topología localmente convexa.

Ejemplos

Espacio localmente convexo de funciones acotadas

Sea 𝕂 el conjunto de los números reales o complejos (dotados de sus bornologías habituales), sea (T,ℬ) una estructura acotada y denótese con LB(T,𝕂) el espacio vectorial de todas las aplicaciones valoradas en 𝕂 acotadas localmente en T. Para cada B∈ℬ, sea pB(f):=sup⁡|f(B)| para todos los f∈LB(T,𝕂), donde esto define una seminorma en X. La topología del espacio vectorial topológico localmente convexo en LB(T,𝕂) definido por la familia de seminormas {pB:B∈ℬ} se denomina Plantilla:Enf.Plantilla:Sfn Esta topología convierte a LB(T,𝕂) en un espacio métrico completo.Plantilla:Sfn

Bornología de la equicontinuidad

Sea T un espacio topológico, sean 𝕂 los números reales o complejos, y sea C(T,𝕂) el espacio vectorial de todas las aplicaciones continuas con valores 𝕂 en T. El conjunto de todos los subconjuntos equicontinuos de C(T,𝕂) forma una bornología vectorial en C(T,𝕂).Plantilla:Sfn

Véase también

Referencias

Plantilla:Listaref

Bibliografía

Plantilla:Control de autoridades

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