Clase de equivalencia

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La congruencia es un ejemplo de una relación de equivalencia. Los dos triángulos más a la izquierda son congruentes, mientras que los triángulos tercero y cuarto no son congruentes con ningún otro triángulo que se muestra aquí. Por lo tanto, los primeros dos triángulos están en la misma clase de equivalencia, mientras que el tercer y cuarto triángulos están en su propia clase de equivalencia

En matemáticas, cuando los elementos de algún conjunto Plantilla:Math tienen una noción de equivalencia definida en ellos (formalizada como una relación de equivalencia), entonces se puede dividir naturalmente el conjunto Plantilla:Math en clases de equivalencia. Estas clases de equivalencia se construyen de modo que los elementos Plantilla:Math y Plantilla:Math pertenecen a la misma clase de equivalencia si y solo si son equivalentes.

Formalmente, dado un conjunto Plantilla:Math y una relación de equivalencia Plantilla:Math en Plantilla:Math, la clase de equivalencia de un elemento Plantilla:Math en Plantilla:Math es el conjunto

{x∈S∣x∼a}

de elementos que son equivalentes al elemento Plantilla:Math. Puede demostrarse a partir de las propiedades definitorias de las relaciones de equivalencia que las clases de equivalencia forman una partición de Plantilla:Math. Esta partición, el conjunto de clases de equivalencia, a veces se denomina conjunto cociente o espacio de cocientes de Plantilla:Math respecto a Plantilla:Math y se denota por Plantilla:Math.

Cuando el conjunto Plantilla:Math tiene alguna estructura (como una operación de grupo o una topología) y la relación de equivalencia Plantilla:Math es compatible con esta estructura, el conjunto cociente a menudo hereda una estructura similar a la de su conjunto origen. Los ejemplos incluyen espacios cocientes en álgebra lineal, espacios cocientes en topología, grupos cocientes, espacios homogéneos, anillos cocientes, monoides cocientes y categorías cocientes.

Ejemplos

Notación y definición formal

Una relación de equivalencia en un conjunto Plantilla:Mvar es una relación binaria Plantilla:Math en Plantilla:Mvar, que satisface las tres propiedades siguientes:[2]

La clase de equivalencia de un elemento Plantilla:Mvar se denota Plantilla:Math o Plantilla:Math, y se define como el conjunto {x∈X∣a∼x} de elementos que están relacionados con el elemento Plantilla:Mvar por   Plantilla:Math. La palabra "clase" en el término "clase de equivalencia" no se refiere a las clases como se define en la teoría de conjuntos, pero las clases de equivalencia a menudo resultan ser clases propias.

El conjunto de todas las clases de equivalencia en Plantilla:Mvar con respecto a una relación de equivalencia Plantilla:Math se denota como Plantilla:Math y se llama Plantilla:Mvar módulo Plantilla:Mvar (o el conjunto del cociente de Plantilla:Mvar por Plantilla:Math).[4] La aplicación sobreyectiva x↦[x] de Plantilla:Mvar a Plantilla:Math que hace corresponder cada elemento a su clase de equivalencia, se llama sobreyección canónica o aplicación de proyección canónica.

Cuando se elige un elemento (a menudo implícitamente) en cada clase de equivalencia, esto define una aplicación inyectiva llamada sección. Si esta sección se denota por Plantilla:Math, se tiene que Plantilla:Math para cada clase de equivalencia Plantilla:Math. El elemento Plantilla:Math se llama representante de Plantilla:Math. Cualquier elemento de una clase se puede elegir como representante de la clase, especificando la sección de manera apropiada.

A veces, existe una sección que es más "natural" que las otras. En este caso, los representantes se llaman representantes canónicos. Por ejemplo, en aritmética modular, considérese la relación de equivalencia en los enteros definidos por Plantilla:Math si (Plantilla:Math) es un múltiplo de un entero positivo dado Plantilla:Math, llamado módulo. Cada clase contiene un número entero no negativo único menor que Plantilla:Math, y estos números enteros son los representantes canónicos. La clase y su representante están más o menos identificados, como lo demuestra el hecho de que la notación Plantilla:Math puede denotar la clase o su representante canónico (que es el resto de la división de Plantilla:Math por Plantilla:Math).

Propiedades

Cada elemento Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar es un miembro de la clase de equivalencia Plantilla:Math. Cada dos clases de equivalencia Plantilla:Math e Plantilla:Math son iguales o disjuntas. Por lo tanto, el conjunto de todas las clases de equivalencia de Plantilla:Mvar forma una partición de Plantilla:Mvar: cada elemento de Plantilla:Mvar pertenece a una sola clase de equivalencia.[3] Por el contrario, cada partición de Plantilla:Mvar proviene de una relación de equivalencia de esta manera, según la cual Plantilla:Math si y solo si Plantilla:Mvar e Plantilla:Mvar pertenecen al mismo conjunto de la partición.[1]

De las propiedades de una relación de equivalencia se deduce que

Plantilla:Math si y solo si Plantilla:Math.

En otras palabras, si Plantilla:Math es una relación de equivalencia en un conjunto Plantilla:Math, y Plantilla:Mvar e Plantilla:Mvar son dos elementos de Plantilla:Mvar, entonces estas declaraciones son equivalentes:

  • x∼y
  • [x]=[y]
  • [x]∩[y]≠∅.

Representación gráfica

Gráfico de un ejemplo de equivalencia con 7 clases

Un grafo no dirigido puede estar asociada a cualquier relación simétrica en un conjunto Plantilla:Math donde los vértices son los elementos de Plantilla:Math y dos vértices Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar se unen si y solo si Plantilla:Math Entre estos gráficos están los gráficos de las relaciones de equivalencia; se caracterizan como los gráficos de manera que los componentes conectados son camarillas.[2]

Invariantes

Si Plantilla:Math es una relación de equivalencia en Plantilla:Mvar, y Plantilla:Math es una propiedad de elementos de Plantilla:Mvar de modo que siempre que Plantilla:Math, Plantilla:Math sea verdadero si Plantilla:Math es verdadero, entonces se dice que la propiedad Plantilla:Mvar es un invariante de Plantilla:Math, o que está bien definido bajo la relación Plantilla:Math.

Un caso particular frecuente ocurre cuando Plantilla:Mvar es una función de Plantilla:Mvar a otro conjunto Plantilla:Mvar; si Plantilla:Math siempre que Plantilla:Math, entonces se dice que Plantilla:Mvar es invariante de clase bajo Plantilla:Math, o simplemente invariante bajo Plantilla:Math. Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría del carácter de los grupos finitos. Algunos autores usan "compatible con Plantilla:Math" o simplemente "respeta Plantilla:Math" en lugar de "invariante bajo Plantilla:Math".

Cualquier función Plantilla:Math define una relación de equivalencia en Plantilla:Mvar según la cual Plantilla:Math si y solo si Plantilla:Math. La clase de equivalencia de Plantilla:Mvar es el conjunto de todos los elementos de Plantilla:Mvar que se asignan a Plantilla:Math, es decir, la clase Plantilla:Math es la imagen inversa de Plantilla:Math. Esta relación de equivalencia se conoce como el núcleo de Plantilla:Mvar.

De manera más general, una función puede asignar argumentos equivalentes (bajo una relación de equivalencia Plantilla:Math en Plantilla:Mvar) a valores equivalentes (bajo una relación de equivalencia Plantilla:Math en Plantilla:Mvar). Tal función es un morfismo de conjuntos equipados con una relación de equivalencia.

Espacio cociente en topología

En topología, un espacio cociente es un espacio topológico formado en el conjunto de clases de equivalencia de una relación de equivalencia en un espacio topológico utilizando la topología del espacio original para crear la topología en el conjunto de clases de equivalencia.

En álgebra abstracta, las relaciones de congruencia en el conjunto subyacente de un álgebra permiten que el álgebra induzca un álgebra en las clases de equivalencia de la relación, llamada álgebra cociente. En álgebra lineal, un espacio cociente es un espacio vectorial formado tomando un grupo cociente donde el homomorfismo cociente es una aplicación lineal. Por extensión, en álgebra abstracta, el término espacio cociente puede usarse para módulos cocientes, anillos cocientes, grupos cocientes o cualquier álgebra cociente. Sin embargo, el uso del término para los casos más generales se produce a menudo por analogía con las órbitas de una acción de grupo.

Las órbitas de una acción de grupo en un conjunto pueden denominarse espacio cociente de la acción en el conjunto, particularmente cuando las órbitas de la acción de grupo son las clases laterales a la derecha de un subgrupo de un grupo, que surgen de la acción del subgrupo en el grupo por la traslación a la izquierda, o respectivamente, las clases laterales a la izquierda que surgen como órbitas bajo la traslación a la derecha.

Un subgrupo normal de un grupo topológico, que actúa sobre el grupo mediante la acción de traslación, es un espacio cociente en los sentidos de la topología, el álgebra abstracta y las acciones grupales simultáneamente.

Aunque el término puede usarse para cualquier conjunto de clases de equivalencia de una relación de equivalencia, posiblemente con una estructura adicional, la intención de usar el término es generalmente comparar ese tipo de relación de equivalencia en un conjunto Plantilla:Math con una relación de equivalencia que induce alguna estructura en el conjunto de clases de equivalencia desde una estructura del mismo tipo en Plantilla:Math, o hacia las órbitas de una acción grupal. Tanto el sentido de una estructura preservada por una relación de equivalencia como el estudio de invariantes bajo acciones grupales conducen a la definición de invariantes de relaciones de equivalencia dada anteriormente.

Véase también

Referencias

Plantilla:Listaref

Bibliografía

Lecturas relacionadas

Este material es básico y se puede encontrar en cualquier texto relacionado con los fundamentos de la técnica de prueba, como cualquiera de los siguientes:

Enlaces externos

Plantilla:Control de autoridades

  1. ↑ 1,0 1,1 Plantilla:Harvsp
  2. ↑ 2,0 2,1 2,2 Plantilla:Harvsp
  3. ↑ 3,0 3,1 Plantilla:Harvsp
  4. ↑ Plantilla:Harvsp
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