Ley de esperanzas iteradas

La ley de esperanzas iteradasPlantilla:Harvnp o ley de Adán ^[1] es una proposición en teoría de la probabilidad que establece que si $X$ es una variable aleatoria cuya esperanza $E (X)$ es definida, e $Y$ es cualquier variable aleatoria en el mismo espacio de probabilidad, entonces se cumple que

E (X) = E (E (X ∣ Y)),

es decir, la esperanza o valor esperado de $X$ es igual al valor esperado de la esperanza condicional de $X$ dado $Y$ .

La esperanza condicional $E (X ∣ Y)$ , siendo $Y$ una variable aleatoria, no es un simple número, es una variable aleatoria cuyo valor depende del valor de $Y$ . Es decir, la esperanza condicional de $X$ dado el evento $Y = y$ es un número y es una función de $y$ . Si denotamos por $g (y)$ el valor de $E (X ∣ Y = y)$ , entonces la variable aleatoria $E (X ∣ Y)$ es $g (Y)$ .

Un caso especial establece que si ${A_{i}}$ es una partición finita o contable del espacio muestral, entonces

E (X) = \sum_{i} E (X ∣ A_{i}) P (A_{i}) .

Ejemplo

Supongamos que sólo dos fábricas suministran bombillas al mercado. Las bombillas de la fábrica $X$ funcionan durante un promedio de 5000 horas, mientras que las de la fábrica $Y$ funcionan una media de 4000 horas. Se sabe que la fábrica $X$ suministra el 60% del total de bombillas disponibles. ¿Cuál es el tiempo de funcionamiento (L) esperado de una bombilla comprada?

Aplicando la ley de esperanzas iteradas, tenemos:

\begin{matrix} E (L) & = E (L ∣ X) P (X) + E (L ∣ Y) P (Y) \\ = 5000 (0.6) + 4000 (0.4) \\ = 4600 \end{matrix}

dónde

$E (L)$ es la vida útil esperada de la bombilla;
$P (X) = \frac{6}{10}$ es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido producida en la fábrica $X$ ;
$P (Y) = \frac{4}{10}$ es la probabilidad de que la bombilla comprada haya sido producida en la fábrica $Y$ ;
$E (L ∣ X) = 5000$ es la vida útil esperada de una bombilla producida en la fábrica $X$ ;
$E (L ∣ Y) = 4000$ es la vida útil esperada de una bombilla producida en la fábrica $Y$ .

Por lo tanto, cada bombilla comprada tiene una vida útil esperada de 4.600 horas.

Prueba informal

Cuando una función de densidad de probabilidad conjunta está bien definida y las esperanzas son integrables, escribimos para el caso general $\begin{matrix} E (X) & = \int x \Pr [X = x] d x \\ E (X ∣ Y = y) & = \int x \Pr [X = x ∣ Y = y] d x \\ E (E (X ∣ Y)) & = \int (\int x \Pr [X = x ∣ Y = y] d x) \Pr [Y = y] d y \\ = \int \int x \Pr [X = x, Y = y] d x d y \\ = \int x (\int \Pr [X = x, Y = y] d y) d x \\ = \int x \Pr [X = x] d x \\ = E (X) . \end{matrix}$ Una derivación similar funciona para distribuciones discretas utilizando adición en lugar de integración. Para el caso específico de una partición, asigne a cada celda de la partición una etiqueta única y sea la variable aleatoria Y la función del espacio muestral que asigna la etiqueta de una celda a cada punto de esa celda.

Prueba en el caso general

Sea $(Ω, ℱ, P)$ un espacio de probabilidad en el que dos sub σ-álgebras $𝒢_{1} \subseteq 𝒢_{2} \subseteq ℱ$ están bien definidas. Para una variable aleatoria $X$ en tal espacio, la ley de esperanzas iteradas establece que si $E [X]$ es definida, es decir $\min (E [X_{+}], E [X_{-}]) < \infty$ , entonces

E [E [X ∣ 𝒢_{2}] ∣ 𝒢_{1}] = E [X ∣ 𝒢_{1}] (a.s.) .

Prueba . Dado que una esperanza condicional es una derivada de Radon-Nikodym, la verificación de las dos propiedades siguientes establece la ley de esperanas iteradas:

$E [E [X ∣ 𝒢_{2}] ∣ 𝒢_{1}] is 𝒢_{1}$ - medible
$\int_{G_{1}} E [E [X ∣ 𝒢_{2}] ∣ 𝒢_{1}] d P = \int_{G_{1}} X d P,$ para todo $G_{1} \in 𝒢_{1} .$

La primera de estas propiedades se cumple por la definición de la esperanza condicional. Para probar la segunda,

\begin{matrix} \min (\int_{G_{1}} X_{+} d P, \int_{G_{1}} X_{-} d P) & \leq \min (\int_{Ω} X_{+} d P, \int_{Ω} X_{-} d P) \\ = \min (E [X_{+}], E [X_{-}]) < \infty, \end{matrix}

de manera que la integral $\int_{G_{1}} X d P$ es definida (no es igual a $\infty - \infty$ ).

Así, la segunda propiedad se cumple, pues $G_{1} \in 𝒢_{1} \subseteq 𝒢_{2}$ implica

\int_{G_{1}} E [E [X ∣ 𝒢_{2}] ∣ 𝒢_{1}] d P = \int_{G_{1}} E [X ∣ 𝒢_{2}] d P = \int_{G_{1}} X d P .

Corolario. En el caso especial cuando $𝒢_{1} = {\emptyset, Ω}$ y $𝒢_{2} = σ (Y)$ , la ley de esperanzas iteradas se reduce a

E [E [X ∣ Y]] = E [X] .

Prueba alternativa para $E [E [X ∣ Y]] = E [X] .$

Esta es una consecuencia simple de la definición de la esperanza condicional en la teoría de la medida. Por definición, $E [X ∣ Y] : = E [X ∣ σ (Y)]$ es una variable aleatoria $σ (Y)$ -medible que satisface

\int_{A} E [X ∣ Y] d P = \int_{A} X d P,

para cada conjunto medible $A \in σ (Y)$ . Tomar $A = Ω$ prueba la afirmación.

Véase también

Ley de probabilidad total

Referencias

Plantilla:Listaref

Bibliografía

Plantilla:Cita libro

Plantilla:Control de autoridades

↑ Plantilla:Cita web

[1] Plantilla:Cita web

[1]

Ley de esperanzas iteradas

Sumario

Ejemplo

Prueba informal

Prueba en el caso general

Véase también

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Ley de esperanzas iteradas

Ejemplo

Prueba informal

Prueba en el caso general

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