Acción (matemática)

En matemáticas, y en particular en álgebra abstracta, una acción de un grupo $(G, *)$ sobre un conjunto $X$ es una aplicación $ϕ : G \times X \to X$ que cumple las dos condiciones siguientes:Plantilla:Sfn

$\forall x \in X : ϕ (e, x) = x$ , donde $e$ es el elemento neutro del grupo.
$\forall x \in X : g, h \in G, ϕ (g * h, x) = ϕ (g, ϕ (h, x))$ .

En tal caso se dice que el grupo $G$ actúa sobre $X$ , y que el conjunto $X$ es un $G$ -conjunto.Plantilla:Sfn

Las dos condiciones anteriores equivalen a que, para cada elemento $g$ de $G$ , la aplicación $ϕ_{g} = ϕ (g, \cdot) : X \to X$ es una función biyectiva definida sobre $X$ . En consecuencia, una definición alternativa es que una acción es un homomorfismo entre el grupo $G$ y el grupo $S_{X}$

θ : G \to S_{X} : g \mapsto ϕ_{g}

.

donde $S_{X}$ denota el grupo formado por todas las funciones biyectivas de $X$ en sí mismo, bajo la operación de composición de funciones, denominado grupo simétrico de $X$ . Se dice que el homomorfismo $θ$ es una representación del grupo $G$ por permutación.Plantilla:Sfn

Notación alternativa

Otra notación utilizada para las acciones es $(g, x) \mapsto g \cdot x$ . Así los axiomas de acción se reescriben:

$e \cdot x = x$ .
$(g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$ .

Es frecuente denominar puntos a los elementos del conjunto $X$ , para no causar confusión con los elementos del grupo $G$ .

Ejemplos

El ejemplo más sencillo es la acción trivial: para cualquier $g \in G$ y $x \in X$ , $ϕ (g, x) = x$ . Cuando la acción es trivial, cada biyección $ϕ_{g}$ es la aplicación identidad del conjunto $X$ , que lleva cada elemento en sí mismo.

El grupo de tres elementos $ℤ / 3 ℤ = {0, 1, 2}$ actúa sobre el plano complejo $ℂ$ de la siguiente manera:

$ϕ (0, z) = z$ .
$ϕ (1, z) = w z$ .
$ϕ (2, z) = w^{2} z$ .

donde $w$ es una raíz cúbica de la unidad distinta de 1 (si tomáramos la raíz $w = 1$ la acción sería trivial). Geométricamente, esta acción representa rotaciones del plano complejo respecto del origen, con ángulos de 0, 120 y 240 grados.

Un tipo importante de acción es aquella en la que $X$ es un espacio vectorial. Este tipo de acciones son el punto de partida de la teoría de la representación.

El núcleo de la acción y los puntos fijos

Se define el núcleo de una acción $ϕ : G \times X \to X$ como el conjunto de todos los elementos del grupo $G$ que actúan trivialmente sobre todo punto de $X$ :Plantilla:Sfn

k e r ϕ = {g \in G | g \cdot x = x, \forall x \in X}

.

Para cada elemento $g$ del núcleo, la biyección asociada $ϕ_{g}$ es la identidad de $X$ . Es por tanto el núcleo del homomorfismo $θ : G \to S (X)$ , y como tal es un subgrupo normal del $G$ .

En contraste, se denominan puntos fijos de la acción a los elementos de $X$ sobre los que todos los elemento de $G$ actúan trivialmente, es decir:

x \in X

es un punto fijo si

g \cdot x = x

para todo

g \in G

.

Estabilizador y órbita de un punto

Para cada elemento $x$ de un conjunto $X$ sobre el que actúa un grupo $G$ , podemos definir dos subconjuntos de interés.Plantilla:Sfn

Subgrupos estabilizadores

El estabilizador de un punto $x \in X$ se compone de todos los elementos de $G$ que actúan trivialmente sobre $x$

G_{x} = {g \in G | g \cdot x = x} \subset G

.

Otra forma de expresarlo es que contiene a los elementos del grupo que dejan fijo $x$ . En consecuencia, cuando $x$ es un punto fijo su estabilizador es todo el grupo: $G_{x} = G$ . El núcleo de la acción es precisamente la intersección de los estabilizadores de todos los puntos de $X$ :

k e r ϕ = \cap_{x \in X} G_{x}

.

$G_{x}$ es un subgrupo de $G$ , no necesariamente normal. También es llamado subgrupo de isotropía de $x$ .Plantilla:Sfn

Órbitas de la acción

La órbita de $x$ se compone de todos los elementos de $X$ que son imagen de $x$ por la acción de algún elemento de $G$ :Plantilla:Sfn

O_{x} = {y \in X | \exists g \in G : g \cdot x = y} \subset X

.

La órbita de $x$ contiene a los elementos del conjunto $X$ que se alcanzan desde $x$ por la acción de $G$ . Cuando $x$ es un punto fijo de la acción, su órbita se reduce al propio $x$ , esto es: $O_{x} = {x}$ , y viceversa.

La relación «y pertenece a la órbita de x» es reflexiva, simétrica y transitiva, y por lo tanto es una relación de equivalencia. Por consiguiente, las órbitas bajo la acción de $G$ forman una partición del conjunto $X$ , lo que significa que las órbitas de dos elementos distintos o bien coinciden, o bien son disjuntas.

Relación entre órbitas y estabilizadores

Dado un punto arbitrario $x \in X$ , existe una biyección entre su órbita y las clases laterales derechas (o izquierdas) en $G$ de su estabilizador $G_{x}$ , es decir

O_{x} \leftrightarrow G / G_{x}

.^{[nota 1]}

En particular, si $G_{x}$ es un subgrupo de índice finito en $G$ , la órbita de $x$ es un conjunto finito y su cardinalidad es

| O_{x} | = [G : G_{x}]

.Plantilla:Sfn

Dos puntos de una misma órbita tienen estabilizadores conjugados por el elemento que lleva un punto en el otro:

Si

y \in O_{x}

entonces

G_{y} = g G_{x} g^{- 1}

, donde

g \cdot x = y

.

Lo anterior se deriva de que si $h$ es un elemento que deja fijo el punto $x$ , entonces

g h g^{- 1} \cdot y = g h \cdot x = g \cdot x = y

.

Tipos de acciones

Una acción se llama transitiva, o se dice que el grupo actúa transitivamente sobre un conjunto $X$ , si dados dos elementos $x$ e $y$ cualesquiera de $X$ , existe un elemento $g$ del grupo que aplica $x$ en $y$ , es decir:

\forall x, y \in X ⟹ \exists g \in G : ϕ (g, x) = y

.Plantilla:Sfn

Cuando la acción de un grupo

G

es transitiva sobre un espacio topológico

X

se dice que éste es un espacio homogéneo para el grupo

G

.Plantilla:Sfn

Una acción se llama n-transitiva si dadas dos $n$ -tuplas de elementos del conjunto $X$ , $⟨ x_{1}, . . ., x_{n} ⟩$ e $⟨ y_{1}, . . ., y_{n} ⟩$ diferentes dos a dos (esto es, $x_{i} \neq x_{j}$ e $y_{i} \neq y_{j}$ para todo $i \neq j$ ), existe un elemento $g$ del grupo que aplica $x_{i}$ en $y_{i}$ para cada $i = 1, . . ., n$ . Las acciones 2-transitivas se denominan también acciones doblemente transitivas, las 3-transitivas triplemente transitivas, etc.

Una acción doblemente transitiva satisface la siguiente definición equivalente: una acción es doblemente transitiva si dado cualquier punto $x \in X$ , el estabilizador $G_{x}$ actúa transitivamente sobre los puntos restantes (es decir, es transitiva sobre $X ∖ {x}$ ).Plantilla:Sfn

Una acción es fiel o efectiva si el núcleo de la acción es trivial, es decir, el elemento identidad de $G$ es el único que actúa trivialmente sobre todo punto de $X$ . Esta condición es equivalente a que el homomorfismo $θ : G \to S_{X}$ sea inyectivo, y por tanto cada biyección $ϕ_{g}$ sea distinta.Plantilla:Sfn

Una acción es libre, o se dice que el grupo actúa libremente, si el único elemento de $G$ con puntos fijos es la identidad, es decir

\exists x \in X : g \cdot x = x ⟹ g = 1_{G}

(donde

1_{G}

denota la identidad de

G

).

Acción de un grupo sobre sí mismo

Cuando el conjunto sobre el que actúa un grupo $G$ es el propio grupo, es decir $X = G$ , entonces se dice que el grupo actúa sobre sí mismo. Las dos maneras más interesantes en las cuales un grupo puede actuar sobre sí mismo son por multiplicación y por conjugación.

Acción por multiplicación

Todo grupo $G$ actúa sobre sí mismo por multiplicación^{[nota 2]} por la izquierda (respectivamente, por la derecha) mediante la acción definida porPlantilla:Sfn

φ : G \times G \to G : (g, h) \mapsto g h

(respectivamente

(g, h) \mapsto h g

).

Esta acción es fiel (de hecho, el estabilizador de todo punto es trivial), transitiva, y existe una única órbita que abarca todo $G$ . Las acciones de multiplicación por la izquierda y multiplicación por la derecha coinciden precisamente cuando el grupo $G$ es abeliano.

El hecho de que para todo grupo la acción por multiplicación sea fiel, significa que el homomorfismo

θ : G \to S_{G}

es inyectivo. Por el primer teorema de isomorfía, esto significa que el grupo $G$ es isomorfo a un subgrupo de su propio grupo simétrico. En particular, si $G$ es finito de orden $n$ , entonces es isomorfo a un subgrupo del grupo de permutaciones de n elementos, $S_{n}$ . Este resultado se conoce con el nombre de teorema de Cayley.Plantilla:Sfn

Acción por conjugación

Por otro lado, todo grupo $G$ actúa sobre sí mismo por conjugación mediante la acción definida porPlantilla:Sfn

φ : G \times G \to G : (g, h) \mapsto g h g^{- 1}

.

El estabilizador de cada punto $g$ está formado por los elementos de $G$ que conmutan con $g$ , es decir, el centralizador de $g$ :

G_{x} = C_{G} (x)

Cuando el grupo es abeliano la acción del grupo en sí mismo por conjugación es trivial. Nótese que entonces

\forall g, h \in G : g h g^{- 1} = g g^{- 1} h = h

.

Las órbitas bajo esta acción se denominan clases de conjugación. Los elementos del centro del grupo (formado por aquellos elementos que conmutan con cualquier otro, denotado por $Z (G)$ ) forman cada uno de ellos una clase unipuntual (i.e. son puntos fijos). El recíproco también es cierto, es decir, si la clase de conjugación de un elemento $g$ solo contiene a ese elemento entonces $g$ pertenece al centro de $G$ , esto es:

x \in Z (G) ⟺ O_{x} = {x}

.

Ecuación de clases

La acción por conjugación de un grupo en sí mismo permite obtener la descomposición orbital de grupos finitos:

G = ⋃_{i \in I} 𝒦_{i}

que es la unión disjunta de todas las clases de conjugación $𝒦_{i}$ . En consecuencia

| G | = \sum_{i \in I} | 𝒦_{i} |

Por un lado distinguimos los elementos del centro, cada uno en su propia clase unitaria, y por otro el resto de clases:

De las primeras hay una clase por cada elemento del centro, y cada una tiene cardinalidad 1.
Para el resto de clases de conjugación, si $g_{i}$ es un representante de la clase $𝒦_{i}$ se tiene que

𝒦_{i} = O_{g_{i}} ⟹ | 𝒦_{i} | = [G : G_{g_{i}}] = [G : C_{G} (g_{i})]

.

Uniendo ambos resultados se obtiene la ecuación de clases para el orden de $G$ :Plantilla:Sfn

| G | = | Z (G) | + \sum_{i = 1}^{r} [G : C_{G} (g_{i})]

donde $g_{1}, . . ., g_{r}$ es un conjunto de representantes de cada una de las clases de conjugación no contenidas en el centro de $G$ . La ecuación de clases permite derivar algunos resultados para los grupos finitos como el teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow.

Notas

↑ Aquí se debe entender el símbolo $/$ como el conjunto cociente de $G$ bajo la relación de equivalencia determinada por las clases laterales, bien sean derechas o izquierdas, pues no se puede asegurar que $G_{x}$ sea un subgrupo normal.
↑ Aunque es habitual utilizar la palabra multiplicación o producto, en realidad se hace referencia a la operación del grupo, sea cual sea.

Referencias

Plantilla:Listaref

Bibliografía referenciada

Bibliografía adicional

Enlaces externos

Plantilla:MathWorld

Plantilla:Control de autoridades

[1] Aquí se debe entender el símbolo $/$ como el conjunto cociente de $G$ bajo la relación de equivalencia determinada por las clases laterales, bien sean derechas o izquierdas, pues no se puede asegurar que $G_{x}$ sea un subgrupo normal.

[2] Aunque es habitual utilizar la palabra multiplicación o producto, en realidad se hace referencia a la operación del grupo, sea cual sea.

[nota 1]

[nota 2]

Acción (matemática)

Sumario

Notación alternativa

Ejemplos

El núcleo de la acción y los puntos fijos

Estabilizador y órbita de un punto

Subgrupos estabilizadores

Órbitas de la acción

Relación entre órbitas y estabilizadores

Tipos de acciones

Acción de un grupo sobre sí mismo

Acción por multiplicación

Acción por conjugación

Ecuación de clases

Notas

Referencias

Bibliografía referenciada

Bibliografía adicional

Enlaces externos

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Acción (matemática)

Notación alternativa

Ejemplos

El núcleo de la acción y los puntos fijos

Estabilizador y órbita de un punto

Subgrupos estabilizadores

Órbitas de la acción

Relación entre órbitas y estabilizadores

Tipos de acciones

Acción de un grupo sobre sí mismo

Acción por multiplicación

Acción por conjugación

Ecuación de clases

Notas

Referencias

Bibliografía referenciada

Bibliografía adicional

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