Intersección de conjuntos
En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares Plantilla:Math y el conjunto de los cuadrados Plantilla:Math de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares.
En otras palabras: Cómo, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e, f} y B = { a, e, i, o, u}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es: APlantilla:MathB = { a, e}
La intersección de conjuntos se denota por el símbolo Plantilla:Math por lo que Plantilla:Math.
Definición
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Dados dos conjuntos Plantilla:Math y Plantilla:Math, su intersección es otro subconjunto cuyos elementos, necesariamente, pertenecen a ambos conjunto. Plantilla:Math y Plantilla:Math. Entonces la intersección es Plantilla:Math.
- Sean los conjuntos de números naturales Plantilla:Math y Plantilla:Math. Su intersección es Plantilla:Math.
- Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacío Plantilla:Unicode, ya que no existe ningún número natural que sea par e impar a la vez.
Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos: Plantilla:Definición
Generalizaciones
La intersección de un número finito de conjuntos, superior a dos, se define teniendo en cuenta que, debido a la propiedad asociativa (más abajo), el orden en el que se intersequen los conjuntos es irrelevante: Plantilla:Definición
La definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos, un conjunto cuyos elementos son conjuntos a su vez: Plantilla:Definición De este modo, la intersección de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de esta definición general:
- Plantilla:Math, donde Plantilla:Math
- Plantilla:Math, donde Plantilla:Math
La intersección general de conjuntos se denota de diversas maneras:v Plantilla:Ecuación donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjunto índice, definiendo Plantilla:Math como Plantilla:Math.
Propiedades
Plantilla:AP De la definición de intersección puede deducirse directamente: Plantilla:Teorema La intersección de conjuntos poseen también propiedades similares a las operaciones con números: Plantilla:Teorema Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica.
En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas: Plantilla:Teorema
- Se cumple que ∅ ⊂ A∩B∩C ⊂ A∩B ⊂ A ⊂ A∪B ⊂ A∪B∪C ⊂ Ω donde Ω es el conjunto universal.[1]
Teoría axiomática
En las teorías axiomáticas de conjuntos usuales, como ZFC o NBG, la existencia de la intersección de una familia de conjuntos no se postula de manera independiente, sino que se demuestra como consecuencia del esquema axiomático de reemplazo.
Véase también
Referencias
Literatura del tema
- Yu. M. Korshunov. Fundamentos matemáticos de la cibernética. Editorial Mir, Moscú s/f.
Plantilla:Control de autoridades
- ↑ Rojo. Álgebra I