Espacio T1

Axiomas de separación en espacios topológicos
T0
T1
T2
T2½
completamente T2
T3
T3½
T4
T5
T6

En topología un espacio T₁ o de Fréchet es un caso particular de espacio topológico.

Definición

Un espacio topológico $E$ es $T_1$ si para cada pareja de elementos distintos $x$, $y$ de $E$ existe un abierto que contiene a $x$ y no a $y$. Esto claramente implica que también existe un abierto que contiene a $y$ y no a $x$, ya que también se cumple para la pareja $y$, $x$. Por tanto, también se suele definir como un espacio topológico tal que para cada pareja de elementos distintos $x$ e $y$ de $E$ existe un abierto que contiene a $x$ y no a $y$ y también existe un abierto que contiene a $y$ y no a $x$

Notar que no es necesario que estos dos abiertos sean disjuntos (si esto ocurriera para todo $x$ e $y$, sería un espacio de Hausdorff o $T_2$).

Propiedades

Sea $X$ un espacio topológico. Son equivalentes:

• $X$ es un espacio $T_1$.
• $X$ es un espacio $T_0$ y un espacio $R_0$.
• Para cada $x$ de $X$, $\{x\}$ es cerrado.
• Todo conjunto de un único punto es la intersección de sus entornos.
• Todo subconjunto de $X$ es la intersección de sus entornos.
• Todo suconjunto finito de $X$ es cerrado.
• Todo subconjunto cofinito de $X$ es abierto.
• El ultrafiltro principal de $x$ converge solamente a $x$.
• Para cada punto $x$ de $X$ y todo subcojunto $S$ de $X$, $x$ es un punto límite de $S$ si y solo sí es un punto de acumulación de $S$.

La propiedad de ser T₁ es hereditaria, es decir, los subespacios de un T₁ es también T₁.

Nota y casos

• Sea (ℕ, T) donde Tx = {A ⊂ ℕ; x ∈ A y ℕ - A es finito}. Entonces T es una estructura topológica sobre ℕ, llamada estructura topológica cofinita que es T1 pero no T2.

• Cualquier espacio T1 finito es un espacio topológico discreto.

• Sea $X=\{a,b,c\}$ con la topología formada por los subconjuntos de $X$ siguientes: $\mathrm{\varnothing }$, $\{b\}$, $\{a,b\}$, $\{b,c\}$, $X$. No es T₁ ya que $\{b\}$ no es cerrado.

Teorema

Un espacio topológico es T₁ si y solo si cada punto es un conjunto cerrado.

Ejemplos

• La topología cofinita sobre un conjunto infinito es T₁ pero no T₂.
• El espacio topológico de Sierpinski es T₀ pero no es T₁.

Véase también

• Axiomas de separación
• Espacio de Kolmogórov (T₀)
• Espacio de Hausdorff (T₂)
• Espacio completamente de Hausdorff
• Espacio regular (T₃)
• Espacio de Tíjonov (T_3½)
• Espacio normal

Bibliografía

• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cita publicación

Enlaces externos

• Propiedades de los espacios de Fréchet