Anexo:Fórmulas que contienen a π

La siguiente es una lista de fórmulas importantes que involucran la constante matemática π (pi). Muchas de estas fórmulas se pueden encontrar en el artículo principal sobre el número π.

Geometría euclidiana

$\pi =\frac{C}{d}=\frac{C}{2r}$

donde Plantilla:Math es la circunferencia del círculo, Plantilla:Math es el diámetro y Plantilla:Math es el radio. Más generalmente:

$A=\pi r^2$

donde Plantilla:Math es el área del círculo. Más generalmente,

$\pi =\frac{L}{w}$

donde Plantilla:Math y Plantilla:Math son, respectivamente, el perímetro y el ancho de cualquier curva de ancho constante.

$A=\pi ab$

donde Plantilla:Math es el área demarcada por una elipse con semieje mayor Plantilla:Math y semieje menor Plantilla:Math.

$C=\frac{2\pi }{\mathrm{agm}(a,b)}(a_1^2-\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n-1}(a_n^2-b_n^2))$

donde Plantilla:Math es la circunferencia de una elipse con semieje mayor Plantilla:Math y semieje menor Plantilla:Math y $a_n,b_n$ son las iteraciones aritméticas y geométricas de $\mathrm{agm}(a,b)$, la media aritmético-geométrica de Plantilla:Math y Plantilla:Math con los valores iniciales $a_0=a$ y $b_0=b$ .

$A=4\pi r^2$

donde Plantilla:Math es el área entre la bruja de Agnesi y su recta asintótica; Plantilla:Math es el radio del círculo que lo define.

$A=\frac{\mathrm{\Gamma }(1/4{)}^2}{2\sqrt{\pi }}{r}^2=\frac{\pi r^2}{\mathrm{agm}(1,1/\sqrt{2})}$

donde A es el área de un squircle con radio menor Plantilla:Math y $\mathrm{\Gamma }$ es la función gamma.

$A=(k+1)(k+2)\pi r^2$

donde Plantilla:Math es el área de una epicicloide con el círculo más pequeño de radio Plantilla:Math y el círculo más grande de radio Plantilla:Math ( $k\in \mathbb{N}$ ), asumiendo que el punto inicial se encuentra en el círculo más grande.

$A=\frac{(-1{)}^k+3}{8}\pi a^2$

donde Plantilla:Math es el área de una rosa con frecuencia angular Plantilla:Math ( $k\in \mathbb{N}$ ) y amplitud Plantilla:Math.

$L=\frac{\mathrm{\Gamma }(1/4{)}^2}{\sqrt{\pi }}c=\frac{2\pi c}{\mathrm{agm}(1,1/\sqrt{2})}$

donde Plantilla:Math es el perímetro de la lemniscata de Bernoulli con distancia focal Plantilla:Math.

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

donde Plantilla:Math es el volumen de una esfera y Plantilla:Math es el radio.

$SA=4\pi r^2$

donde Plantilla:Math es el área de superficie de una esfera y Plantilla:Math es el radio.

$H=\frac{1}{2}{\pi }^2{r}^4$

donde Plantilla:Math es el hipervolumen de la triple esfera y Plantilla:Math es el radio.

$SV=2{\pi }^2{r}^3$

donde Plantilla:Math es el volumen de superficie de la triple-esfera y Plantilla:Math es el radio.

Polígonos convexos regulares

Suma Plantilla:Math de los ángulos internos de un polígono regular convexo de Plantilla:Math lados:

$S=(n-2)\pi$

Área Plantilla:Math de un polígono regular convexo con Plantilla:Math lados y lados de longitud Plantilla:Math:

$A=\frac{n{s}^2}{4}\cot \frac{\pi }{n}$

Radio inscrito Plantilla:Math de un polígono regular convexo con Plantilla:Math lados y lados de longitud Plantilla:Math :

$r=\frac{s}{2}\cot \frac{\pi }{n}$

Circunradio Plantilla:Math de un polígono regular convexo con Plantilla:Math lados y lados de longitud Plantilla:Math:

$R=\frac{s}{2}\csc \frac{\pi }{n}$

Física

• La constante cosmológica:

$\mathrm{\Lambda }=\frac{8\pi G}{3c^2}\rho$

• Principio de incertidumbre de Heisenberg :

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{h}{4\pi }$

• Ecuación del campo de Einstein de la relatividad general

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

• Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica en el vacío:

$F=\frac{|q_1{q}_2|}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

• Permeabilidad magnética del espacio libre:

${\mu }_0\approx 4\pi \cdot 10^{-7}\mathrm{N}/{\mathrm{A}}^2$

• Período aproximado de un péndulo simple de pequeña amplitud:

$T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

• Periodo exacto de un péndulo simple con amplitud. ${\theta }_0$ ( $\mathrm{agm}$ es la media aritmético-geométrica):

$T=\frac{2\pi }{\mathrm{agm}(1,\cos ({\theta }_0/2))}\sqrt{\frac{L}{g}}$

• Tercera ley de Kepler del movimiento planetario:

$\frac{R^3}{T^2}=\frac{GM}{4{\pi }^2}$

• La fórmula de pandeo :

$F=\frac{{\pi }^{2}EI}{L^2}$

Un problema que involucra "bolas de billar que chocan":

$\lfloor b^N\pi \rfloor$

es el número de colisiones realizadas (en condiciones ideales, con elasticidad perfecta y sin fricción) por un objeto de masa m inicialmente en reposo entre una pared fija y otro objeto de masa b ^{2 N} m, cuando es golpeado por el otro objeto. (Esto da los dígitos de π en base b hasta N dígitos después del punto de base).

Fórmulas que dan π como resultado

Integrales

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{12}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{sech}xdx=\pi$

$2\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx=\pi$ (el doble de la integral de un semicírculo $y(x)=\sqrt{1-x^2}$ para obtener el área del círculo unitario)

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\pi$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2n+1}\right)}^2=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{8}$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{1+x^2}=\pi$ (véase también distribución de Cauchy )

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x}dx=\pi$ (véase integral de Dirichlet )

$\oint \frac{dz}{z}=2\pi i$ (cuando el camino de integración gira una vez en sentido antihorario alrededor de 0. Véase también la fórmula integral de Cauchy).

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^{2k+1}}=(-1{)}^k\frac{E_{2k}}{2(2k)!}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{2k+1},k\in {\mathbb{N}}_0$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ (véase la integral gaussiana).

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{(n^2-n)/2}}{2n+1}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\cdots =\frac{\pi }{2\sqrt{2}}$ (Newton, Second Letter to Oldenburg, 1676)

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\ln (1+\frac{1}{x^2})dx=\pi$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{x(x+a)(x+b)}}=\frac{\pi }{\mathrm{agm}(\sqrt{a},\sqrt{b})}$ (donde $\mathrm{agm}$ es la media aritmético-geométrica; véase también la integral elíptica)

Nótese que los integrandos simétricos $f(-x)=f(x)$, que tienen la forma ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx$ también se pueden traducir a la forma $2{\int }_0^{a}f(x)dx$.

Series infinitas eficientes

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2n+1}\right)}^4=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{7^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{96}$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!}{(2k+1)!!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{k}k{!}^2}{(2k+1)!}=\frac{\pi }{2}$ (véase también doble factorial)

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3^n(2n+1)}=1-\frac{1}{3^1\cdot 3}+\frac{1}{3^2\cdot 5}-\frac{1}{3^3\cdot 7}+\frac{1}{3^4\cdot 9}-\cdots =\sqrt{3}\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{2\sqrt{3}}$ (Serie Madhava )

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!(2k)!(25k-3)}{(3k)!2^k}=\frac{\pi }{2}$

Las siguientes fórmulas son eficientes para calcular dígitos binarios arbitrarios de π:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(-1{)}^n}{2n+1}\right)}^3=\frac{1}{1^3}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\cdots =\frac{{\pi }^3}{32}$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!{)}^{3}640320^{3k}}=\frac{4270934400}{\sqrt{10005}\pi }$ (véase el algoritmo de Chudnovsky)

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2n+1}\right)}^6=\frac{1}{1^6}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{5^6}+\frac{1}{7^6}+\cdots =\frac{{\pi }^6}{960}$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}dx=\frac{22}{7}-\pi$ (véase también la prueba de que 22/7 es mayor que π ).

Serie de Plouffe para calcular dígitos decimales arbitrarios de π:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!{)}^{4}396^{4k}}=\frac{9801}{2\sqrt{2}\pi }$ (véase: Srinivasa Ramanujan, serie Ramanujan-Sato)

Otras series infinitas

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{4^k}(\frac{2}{4k+1}+\frac{2}{4k+2}+\frac{1}{4k+3})=\pi$

$\zeta (2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$ (ver también problema de Basilea y función zeta de Riemann )

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^k}{2^{10k}}(-\frac{2^5}{4k+1}-\frac{1}{4k+3}+\frac{2^8}{10k+1}-\frac{2^6}{10k+3}-\frac{2^2}{10k+5}-\frac{2^2}{10k+7}+\frac{1}{10k+9})=2^6\pi$

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k\frac{2^{k}k{!}^2}{(2k)!}=\pi +3$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3^n-1}{4^n}\zeta (n+1)=\pi$

$\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(3/2{)}^n-3}{n}(\zeta (n)-1)=\ln \pi$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\arctan 1=\frac{\pi }{4}$ (ver fórmula de Leibniz para pi)

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{(n^2-n)/2}}{2n+1}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\cdots =\frac{\pi }{2\sqrt{2}}$ (Newton, Second Letter to Oldenburg, 1676)

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{3^n(2n+1)}=1-\frac{1}{3^1\cdot 3}+\frac{1}{3^2\cdot 5}-\frac{1}{3^3\cdot 7}+\frac{1}{3^4\cdot 9}-\cdots =\sqrt{3}\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{2\sqrt{3}}$ ( Serie Madhava )

$\zeta (4)=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{90}$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\zeta (2n)\frac{x^{2n}}{n}=\ln \frac{\pi x}{\sin \pi x},0<|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2n+1}\right)}^2=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{8}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(-1{)}^n}{2n+1}\right)}^3=\frac{1}{1^3}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\cdots =\frac{{\pi }^3}{32}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2n+1}\right)}^4=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{7^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{96}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{(-1{)}^n}{2n+1}\right)}^5=\frac{1}{1^5}-\frac{1}{3^5}+\frac{1}{5^5}-\frac{1}{7^5}+\cdots =\frac{5{\pi }^5}{1536}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2n+1}\right)}^6=\frac{1}{1^6}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{5^6}+\frac{1}{7^6}+\cdots =\frac{{\pi }^6}{960}$

En general,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^{2k+1}}=(-1{)}^k\frac{E_{2k}}{2(2k)!}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{2k+1},k\in {\mathbb{N}}_0$

donde $E_{2k}$ es el número de Euler $2k$.

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{n})\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=1-\frac{1}{6}-\frac{1}{40}-\cdots =\frac{\pi }{4}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(4n+1)(4n+3)}=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{5\cdot 7}+\frac{1}{9\cdot 11}+\cdots =\frac{\pi }{8}$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{(n^2+n)/2+1}\left|G_{((-1{)}^{n+1}+6n-3)/4}\right|=|G_1|+|G_2|-|G_4|-|G_5|+|G_7|+|G_8|-|G_{10}|-|G_{11}|+\cdots =\frac{\sqrt{3}}{\pi }$ (ver coeficientes de Gregory)

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(1/2{)}_n^2}{2^{n}n{!}^2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n(1/2{)}_n^2}{2^{n}n{!}^2}=\frac{1}{\pi }$ (donde $(x{)}_n$ es el factorial ascendente)

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}=\pi -3$ (Serie Nilakantha )

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{F_{2n}}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}=\frac{4{\pi }^2}{25\sqrt{5}}$ (dónde $F_n$ es el enésimo número de Fibonacci )

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sigma (n)e^{-2\pi n}=\frac{1}{24}-\frac{1}{8\pi }$ (dónde $\sigma$ es la función de suma de divisores )

$\pi =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{ϵ(n)}}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+\cdots$(donde $ϵ(n)$ es el número de factores primos de la forma $p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ de $n$)

$\frac{\pi }{2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{\epsilon (n)}}{n}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\cdots$(donde $\epsilon (n)$ es el número de factores primos de la forma $p\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ de $n$)

$\pi =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1/2}$

${\pi }^2=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+1/2{)}^2}$

Las dos últimas fórmulas son casos especiales de

$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{\sin \pi x}& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+x}\\ {\left(\frac{\pi }{\sin \pi x}\right)}^2& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+x{)}^2}\end{array}$

que generan infinitas fórmulas análogas para $\pi$ cuando $x\in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}.$

Algunas fórmulas que relacionan π y números armónicos se pueden ver aquí. Otras series infinitas que contienen a π son:

$\pi =\frac{1}{Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{((2n)!{)}^3(42n+5)}{(n!{)}^6{16}^{3n+1}}$
$\pi =\frac{4}{Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(4n)!(21460n+1123)}{(n!{)}^4{441}^{2n+1}{2}^{10n+1}}$
$\pi =\frac{4}{Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(6n+1){\left(\frac{1}{2}\right)}_n^3}{4^n(n!{)}^3}$
$\pi =\frac{32}{Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}^{8n}\frac{(42n\sqrt{5}+30n+5\sqrt{5}-1){\left(\frac{1}{2}\right)}_n^3}{64^n(n!{)}^3}$
$\pi =\frac{27}{4Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{2}{27}\right)}^n\frac{(15n+2){\left(\frac{1}{2}\right)}_n{\left(\frac{1}{3}\right)}_n{\left(\frac{2}{3}\right)}_n}{(n!{)}^3}$
$\pi =\frac{15\sqrt{3}}{2Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{4}{125}\right)}^n\frac{(33n+4){\left(\frac{1}{2}\right)}_n{\left(\frac{1}{3}\right)}_n{\left(\frac{2}{3}\right)}_n}{(n!{)}^3}$
$\pi =\frac{85\sqrt{85}}{18\sqrt{3}Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{4}{85}\right)}^n\frac{(133n+8){\left(\frac{1}{2}\right)}_n{\left(\frac{1}{6}\right)}_n{\left(\frac{5}{6}\right)}_n}{(n!{)}^3}$
$\pi =\frac{5\sqrt{5}}{2\sqrt{3}Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{4}{125}\right)}^n\frac{(11n+1){\left(\frac{1}{2}\right)}_n{\left(\frac{1}{6}\right)}_n{\left(\frac{5}{6}\right)}_n}{(n!{)}^3}$
$\pi =\frac{2\sqrt{3}}{Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(8n+1){\left(\frac{1}{2}\right)}_n{\left(\frac{1}{4}\right)}_n{\left(\frac{3}{4}\right)}_n}{(n!{)}^3{9}^n}$
$\pi =\frac{\sqrt{3}}{9Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(40n+3){\left(\frac{1}{2}\right)}_n{\left(\frac{1}{4}\right)}_n{\left(\frac{3}{4}\right)}_n}{(n!{)}^3{49}^{2n+1}}$
$\pi =\frac{2\sqrt{11}}{11Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(280n+19){\left(\frac{1}{2}\right)}_n{\left(\frac{1}{4}\right)}_n{\left(\frac{3}{4}\right)}_n}{(n!{)}^3{99}^{2n+1}}$
$\pi =\frac{\sqrt{2}}{4Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(10n+1){\left(\frac{1}{2}\right)}_n{\left(\frac{1}{4}\right)}_n{\left(\frac{3}{4}\right)}_n}{(n!{)}^3{9}^{2n+1}}$
$\pi =\frac{4\sqrt{5}}{5Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(644n+41){\left(\frac{1}{2}\right)}_n{\left(\frac{1}{4}\right)}_n{\left(\frac{3}{4}\right)}_n}{(n!{)}^3{5}^n{72}^{2n+1}}$
$\pi =\frac{4\sqrt{3}}{3Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(28n+3){\left(\frac{1}{2}\right)}_n{\left(\frac{1}{4}\right)}_n{\left(\frac{3}{4}\right)}_n}{(n!{)}^3{3}^n{4}^{n+1}}$
$\pi =\frac{4}{Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(20n+3){\left(\frac{1}{2}\right)}_n{\left(\frac{1}{4}\right)}_n{\left(\frac{3}{4}\right)}_n}{(n!{)}^3{2}^{2n+1}}$
$\pi =\frac{72}{Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(4n)!(260n+23)}{(n!{)}^4{4}^{4n}18^{2n}}$
$\pi =\frac{3528}{Z}$	$Z=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(4n)!(21460n+1123)}{(n!{)}^4{4}^{4n}882^{2n}}$

donde $(x{)}_n$ es el símbolo de Pochhammer para el factorial ascendente. Véase también Serie Ramanujan-Sato.

Fórmulas tipo Machin

$\frac{\pi }{4}=\arctan 1$

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$ (la fórmula original de Machin)

$\frac{\pi }{4}=5\arctan \frac{1}{7}+2\arctan \frac{3}{79}$

$\frac{\pi }{4}=6\arctan \frac{1}{8}+2\arctan \frac{1}{57}+\arctan \frac{1}{239}$

$\frac{\pi }{4}=12\arctan \frac{1}{49}+32\arctan \frac{1}{57}-5\arctan \frac{1}{239}+12\arctan \frac{1}{110443}$

$\frac{\pi }{4}=44\arctan \frac{1}{57}+7\arctan \frac{1}{239}-12\arctan \frac{1}{682}+24\arctan \frac{1}{12943}$

Productos infinitos

$\frac{\pi }{4}=\left(\prod _{p\equiv 1(\mathrm{mod}4)}\frac{p}{p-1}\right)\cdot \left(\prod _{p\equiv 3(\mathrm{mod}4)}\frac{p}{p+1}\right)=\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{7}{8}\cdot \frac{11}{12}\cdot \frac{13}{12}\cdots ,$ (Euler)

Donde los numeradores son los números primos impares; cada denominador es el múltiplo de cuatro más cerca del numerador.

Representación de un producto infinito a partir de un límite:

$\frac{\pi }{4}=\prod _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n-1{)}^{n(2n-1)}(n+1{)}^{n(2n+1)}}{n^{4n^2}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\text{lim}}\frac{(n!{)}^2(n+2{)}^{2n^2+5n+3}}{8(n+1{)}^{2n^2+7n+4}}$

Fórmulas arcotangentes

$\frac{\pi }{2^{k+1}}=\arctan \frac{\sqrt{2-a_{k-1}}}{a_k},k\ge 2$

$\frac{\pi }{4}=\sum _{k\ge 2}\arctan \frac{\sqrt{2-a_{k-1}}}{a_k},$

donde $a_k=\sqrt{2+a_{k-1}}$ tal que $a_1=\sqrt{2}$.

$\frac{\pi }{2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\arctan \frac{1}{F_{2k+1}}=\arctan \frac{1}{1}+\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{5}+\arctan \frac{1}{13}+\cdots$

donde $F_k$ es el k-ésimo número de Fibonacci.

$\pi =\arctan a+\arctan b+\arctan c$

cuando $a+b+c=abc$ y $a$, $b$, $c$ son números reales positivos (see Identidades trigonométricas). Un caso especial es:

$\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.$

Funciones complejas

$e^{i\pi }+1=0$ (Identidad de Euler)

Las siguientes equivalencias son verdaderas para cualquier número complejo $z$:

$e^z\in ℝ\leftrightarrow \mathrm{\Im }z\in \pi \mathbb{Z}$

$e^z=1\leftrightarrow z\in 2\pi i\mathbb{Z}$

Además

$\frac{1}{e^z-1}=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=-N}^N\frac{1}{z-2\pi in}-\frac{1}{2},z\in ℂ.$

Suponemos que una red $\mathrm{\Omega }$ es generada por dos períodos ${\omega }_1,{\omega }_2$. Definimos los quasi-periodos de esta red con ${\eta }_1=\zeta (z+{\omega }_1;\mathrm{\Omega })-\zeta (z;\mathrm{\Omega })$ y ${\eta }_2=\zeta (z+{\omega }_2;\mathrm{\Omega })-\zeta (z;\mathrm{\Omega })$ donde $\zeta$ es la función zeta de Weierstrass (${\eta }_1$ y ${\eta }_2$ son independientes de $z$). Entonces los periodos y quasi-periodos son relacionados con la identidad de Legendre:

${\eta }_1{\omega }_2-{\eta }_2{\omega }_1=2\pi i.$

Fracciones continuas

$\frac{4}{\pi }=1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\ddots }}}}$

$\frac{{\varpi }^2}{\pi }=2+\frac{1^2}{4+\frac{3^2}{4+\frac{5^2}{4+\frac{7^2}{4+\ddots }}}}$ (Ramanujan, $\varpi$ es la constante de la lemniscata)

$\pi =3+\frac{1^2}{6+\frac{3^2}{6+\frac{5^2}{6+\frac{7^2}{6+\ddots }}}}$

$\pi =\frac{4}{1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\ddots }}}}}$

$2\pi =6+\frac{2^2}{12+\frac{6^2}{12+\frac{10^2}{12+\frac{14^2}{12+\frac{18^2}{12+\ddots }}}}}$

Para más información sobre la cuarta fórmula, véase: Fracción continua de Euler.

Véase también

• Identidades trigonométricas

Referencias

Otro

• Plantilla:Obra citada.

Otras lecturas

En inglés:

• Plantilla:Cita publicación
• Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Saito Takeshi: Number Theory 1: Fermat's Dream. American Mathematical Society, Providence 1993, Plantilla:ISBN.