Serie de Ramanujan-Sato

En matemáticas, una serie de Ramanujan-Sato generaliza las fórmulas pi de Ramanujan tales como

$\frac{1}{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{99^2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!}{k{!}^4}\frac{26390k+1103}{396^{4k}}$

a la forma

$\frac{1}{\pi }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}s(k)\frac{Ak+B}{C^k}$

mediante el uso de otras secuencias de enteros bien definidas $s(k)$ obedeciendo una cierta relación de recurrencia, secuencias que pueden expresarse en términos de coeficientes binomiales $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ y $A,B,C$ empleando formas modulares de niveles superiores.

Ramanujan hizo el enigmático comentario de que había "teorías correspondientes", pero solo mucho después H. H. Chan y S. Cooper han encontrado un enfoque general que utilizaba el subgrupo de congruencia modular subyacente ${\mathrm{\Gamma }}_0(n)$, mientras que G. Almkvist ha encontrado experimentalmente numerosos otros ejemplos también con un método general que utiliza operadores diferenciales.

Los niveles 1-4A fueron dados por Ramanujan (1914), el nivel 5 por H. H. Chan y S. Cooper (2012), el 6A por Chan, Tanigawa, Yang y Zudilin, el 6B por Sato (2002}}, el 6C por H. Chan, S. Chan y Z. Liu (2004), el 6D por H. Chan y H. Verrill (2009), el nivel 7 por S. Cooper (2012), parte del nivel 8 por Almkvist y Guillera (2012), parte del nivel 10 por Y. Yang, y el resto por H. H. Chan y S. Cooper.

La notación j_n(t) se deriva de Zagier y T_{n se} refiere a la serie relevante de McKay-Thompson.

Nivel 1

Ramanujan dio ejemplos para los niveles del 1 al 4 en su artículo de 1917. Dado $q=e^{2\pi i\tau }$ como en el resto de este artículo, sea

$\begin{array}{cc}j(\tau )& =(\frac{E_4(\tau )}{{\eta }^8(\tau )}{)}^3=\frac{1}{q}+744+196884q+21493760q^2+\dots \\ j^{*}(\tau )& =432\frac{\sqrt{j(\tau )}+\sqrt{j(\tau )-1728}}{\sqrt{j(\tau )}-\sqrt{j(\tau )-1728}}=\frac{1}{q}-120+10260q-901120q^2+\dots \end{array}$

con la función jota j(t), la serie de Eisenstein E₄ y la función eta de Dedekind ?(t). La primera expansión es la serie de McKay-Thompson de clase 1A Plantilla:OEIS con a(0) = 744. Téngase en cuenta que, como notó por primera vez J. McKay, el coeficiente del término lineal de j(t) es casi igual a $196883$, que es el grado de la representación irreducible no trivial más pequeña del grupo monstruo. Fenómenos similares se observarán en los otros niveles. Sea

$s_{1A}(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{3k}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{6k}{3k})=1,120,83160,81681600,\dots$ Plantilla:OEIS

$s_{1B}(k)=\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{3j}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{6j}{3j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+j}{k-j})(-432{)}^{k-j}=1,-312,114264,-44196288,\dots$

Entonces las dos funciones y secuencias modulares están relacionadas por

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{1A}(k)\frac{1}{(j(\tau ){)}^{k+1/2}}=\pm \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{1B}(k)\frac{1}{(j^{*}(\tau ){)}^{k+1/2}}$

si la serie converge y el signo se elige apropiadamente, aunque cuadrar ambos lados elimina fácilmente la ambigüedad. Existen relaciones análogas para los niveles superiores.

Ejemplos:

$\frac{1}{\pi }=12𝒊\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{1A}(k)\frac{163\cdot 3344418k+13591409}{(-640320^3{)}^{k+1/2}},j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)=-640320^3$

$\frac{1}{\pi }=24𝒊\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{1B}(k)\frac{-3669+320\sqrt{645}(k+\frac{1}{2})}{(-432U_{645}^3{)}^{k+1/2}},j^{*}\left(\frac{1+\sqrt{-43}}{2}\right)=-432U_{645}^3=-432(\frac{127+5\sqrt{645}}{2}{)}^3$

y $U_n$ es una unidad fundamental. El primero pertenece a una familia de fórmulas que fueron rigurosamente probadas por los hermanos Chudnovsky en 1989 y luego se usaron para calcular 10.000 millones de dígitos de p en 2011. La segunda fórmula, y las de niveles superiores, fueron establecidas por H. H. Chan y S. Cooper en 2012.

Nivel 2

Usando la notación de Zagier para la función modular de nivel 2,

$\begin{array}{cc}{j}_{2A}(\tau )& =\left(\right(\frac{\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}{)}^{12}+2^6(\frac{\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}{)}^{12}{)}^2=\frac{1}{q}+104+4372q+96256q^2+1240002q^3+\cdots \\ j_{2B}(\tau )& =(\frac{\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}{)}^{24}=\frac{1}{q}-24+276q-2048q^2+11202q^3-\cdots \end{array}$

Téngase en cuenta que el coeficiente del término lineal de j_2A(t) es uno más que $4371$, que es el grado más pequeño > 1 de las representaciones irreducibles del grupo Baby Monster. Sea

$s_{2A}(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{4k}{2k})=1,24,2520,369600,63063000,\dots$ Plantilla:OEIS

$s_{2B}(k)=\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{4j}{2j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+j}{k-j})(-64{)}^{k-j}=1,-40,2008,-109120,6173656,\dots$

Entonces

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{2A}(k)\frac{1}{(j_{2A}(\tau ){)}^{k+1/2}}=\pm \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{2B}(k)\frac{1}{(j_{2B}(\tau ){)}^{k+1/2}}$

si la serie converge y el signo se elige adecuadamente.

Ejemplos:

$\frac{1}{\pi }=32\sqrt{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{2A}(k)\frac{58\cdot 455k+1103}{(396^4{)}^{k+1/2}},j_{2A}\left(\frac{1}{2}\sqrt{-58}\right)=396^4$

$\frac{1}{\pi }=16\sqrt{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{2B}(k)\frac{-24184+9801\sqrt{29}(k+\frac{1}{2})}{(64U_{29}^{12}{)}^{k+1/2}},j_{2B}\left(\frac{1}{2}\sqrt{-58}\right)=64(\frac{5+\sqrt{29}}{2}{)}^{12}=64U_{29}^{12}$

La primera fórmula, encontrada por Ramanujan y mencionada al comienzo del artículo, pertenece a una familia probada por D. Bailey y los hermanos Borwein en un artículo de 1989.

Nivel 3

Sea

$\begin{array}{cc}{j}_{3A}(\tau )& =\left(\right(\frac{\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}{)}^6+3^3(\frac{\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}{)}^6{)}^2=\frac{1}{q}+42+783q+8672q^2+65367q^3+\dots \\ j_{3B}(\tau )& =(\frac{\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}{)}^{12}=\frac{1}{q}-12+54q-76q^2-243q^3+1188q^4+\dots \\ \end{array}$

donde $782$ es el grado más pequeño > 1 de las representaciones irreducibles del grupo de Fischer Fi_23; y

$s_{3A}(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{3k}{k})=1,12,540,33600,2425500,\dots$ Plantilla:OEIS

$s_{3B}(k)=\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{3j}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+j}{k-j})(-27{)}^{k-j}=1,-15,297,-6495,149481,\dots$

Ejemplos:

$\frac{1}{\pi }=2𝒊\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{3A}(k)\frac{267\cdot 53k+827}{(-300^3{)}^{k+1/2}},j_{3A}\left(\frac{3+\sqrt{-267}}{6}\right)=-300^3$

$\frac{1}{\pi }=𝒊\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{3B}(k)\frac{12497-3000\sqrt{89}(k+\frac{1}{2})}{(-27U_{89}^2{)}^{k+1/2}},j_{3B}\left(\frac{3+\sqrt{-267}}{6}\right)=-27(500+53\sqrt{89}{)}^2=-27U_{89}^2$

Nivel 4

Sean

$\begin{array}{cc}{j}_{4A}(\tau )& =\left(\right(\frac{\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}{)}^4+4^2(\frac{\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}{)}^4{)}^2=(\frac{{\eta }^2(2\tau )}{\eta (\tau )\eta (4\tau )}{)}^{24}=-(\frac{\eta ((2\tau +3)/2)}{\eta (2\tau +3)}{)}^{24}=\frac{1}{q}+24+276q+2048q^2+11202q^3+\dots \\ j_{4C}(\tau )& =(\frac{\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}{)}^8=\frac{1}{q}-8+20q-62q^3+216q^5-641q^7+\dots \\ \end{array}$

donde el primero es la potencia 24 de la función modular de Weber $𝔣(\tau )$ . Y además

$s_{4A}(k)={(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}^3=1,8,216,8000,343000,\dots$ Plantilla:OEIS

$s_{4C}(k)=\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})}^3(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+j}{k-j})(-16{)}^{k-j}=(-1{)}^k\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})}^2{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k-2j}{k-j})}^2=1,-8,88,-1088,14296,\dots$ Plantilla:OEIS

Ejemplos:

$\frac{1}{\pi }=8𝒊\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{4A}(k)\frac{6k+1}{(-2^9{)}^{k+1/2}},j_{4A}\left(\frac{1+\sqrt{-4}}{2}\right)=-2^9$

$\frac{1}{\pi }=16𝒊\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{4C}(k)\frac{1-2\sqrt{2}(k+\frac{1}{2})}{(-16U_2^4{)}^{k+1/2}},j_{4C}\left(\frac{1+\sqrt{-4}}{2}\right)=-16(1+\sqrt{2}{)}^4=-16U_2^4$

Nivel 5

$\begin{array}{cc}{j}_{5A}(\tau )& =(\frac{\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}{)}^6+5^3(\frac{\eta (5\tau )}{\eta (\tau )}{)}^6+22=\frac{1}{q}+16+134q+760q^2+3345q^3+\dots \\ j_{5B}(\tau )& =(\frac{\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}{)}^6=\frac{1}{q}-6+9q+10q^2-30q^3+6q^4+\dots \end{array}$

y,

$s_{5A}(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+j}{j})=1,6,114,2940,87570,\dots$

$s_{5B}(k)=\sum _{j=0}^k(-1{)}^{j+k}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})}^3(\genfrac{}{}{0ex}{}{4k-5j}{3k})=1,-5,35,-275,2275,-19255,\dots$ Plantilla:OEIS

donde el primero es el producto de los coeficientes binomiales centrales y los números de Apéry Plantilla:OEIS

Ejemplos:

$\frac{1}{\pi }=\frac{5}{9}𝒊\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{5A}(k)\frac{682k+71}{(-15228{)}^{k+1/2}},j_{5A}\left(\frac{5+\sqrt{-5(47)}}{10}\right)=-15228=-(18\sqrt{47}{)}^2$

$\frac{1}{\pi }=\frac{6}{\sqrt{5}}𝒊\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{5B}(k)\frac{25\sqrt{5}-141(k+\frac{1}{2})}{(-5\sqrt{5}{U}_5^{15}{)}^{k+1/2}},j_{5B}\left(\frac{5+\sqrt{-5(47)}}{10}\right)=-5\sqrt{5}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^{15}=-5\sqrt{5}{U}_5^{15}$

Nivel 6

Funciones modulares

En 2002, Sato estableció los primeros resultados para el nivel > 4. Involucró los números de Apéry que se usaron por primera vez para establecer la irracionalidad de $\zeta (3)$. Primero, defínase

$\begin{array}{cc}{j}_{6A}(\tau )& =j_{6B}(\tau )+\frac{1}{j_{6B}(\tau )}-2=j_{6C}(\tau )+\frac{64}{j_{6C}(\tau )}+16=j_{6D}(\tau )+\frac{81}{j_{6D}(\tau )}+14=\frac{1}{q}+10+79q+352q^2+\dots \end{array}$

$\begin{array}{cc}{j}_{6B}(\tau )& =(\frac{\eta (2\tau )\eta (3\tau )}{\eta (\tau )\eta (6\tau )}{)}^{12}=\frac{1}{q}+12+78q+364q^2+1365q^3+\dots \end{array}$

$\begin{array}{cc}{j}_{6C}(\tau )& =(\frac{\eta (\tau )\eta (3\tau )}{\eta (2\tau )\eta (6\tau )}{)}^6=\frac{1}{q}-6+15q-32q^2+87q^3-192q^4+\dots \end{array}$

$\begin{array}{cc}{j}_{6D}(\tau )& =(\frac{\eta (\tau )\eta (2\tau )}{\eta (3\tau )\eta (6\tau )}{)}^4=\frac{1}{q}-4-2q+28q^2-27q^3-52q^4+\dots \end{array}$

$\begin{array}{cc}{j}_{6E}(\tau )& =(\frac{\eta (2\tau ){\eta }^3(3\tau )}{\eta (\tau ){\eta }^3(6\tau )}{)}^3=\frac{1}{q}+3+6q+4q^2-3q^3-12q^4+\dots \end{array}$

J. Conway y S. Norton demostraron que existen relaciones lineales entre la serie McKay-Thompson T_n, una de las cuales era

$T_{6A}-T_{6B}-T_{6C}-T_{6D}+2T_{6E}=0$

o usando los cocientes eta anteriores j_n,

$j_{6A}-j_{6B}-j_{6C}-j_{6D}+2j_{6E}=22$

Secuencias a

Para la función modular j_6A, se puede asociar con tres secuencias diferentes (una situación similar ocurre para la función de nivel 10j_10A). Sea

${\alpha }_1(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})}^3=1,4,60,1120,24220,\dots$ Plantilla:OEIS, etiquetada como s₆ en el artículo de Cooper)

${\alpha }_2(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})\sum _{m=0}^j{(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{m})}^3=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})=1,6,90,1860,44730,\dots$ Plantilla:OEIS

${\alpha }_3(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})(-8{)}^{k-j}\sum _{m=0}^j{(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{m})}^3=1,-12,252,-6240,167580,-4726512,\dots$

Las tres secuencias involucran el producto de los coeficientes binomiales centrales. $c(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})$ con: primero, los números de Franel $\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})}^3$ ; 2°, Plantilla:OEIS, y 3º, (-1)^k Plantilla:OEIS. Téngase en cuenta que la segunda secuencia, a₂(k) es también el número de polígonos de 2n pasos en una red cúbica. Sus complementos

$\alpha {\text{'}}_2(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})(-1{)}^{k-j}\sum _{m=0}^j{(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{m})}^3=1,2,42,620,12250,\dots$

$\alpha {\text{'}}_3(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})(8{)}^{k-j}\sum _{m=0}^j{(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{m})}^3=1,20,636,23840,991900,\dots$

También hay secuencias asociadas, a saber, los números de Apéry,

$s_{6B}(k)=\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})}^2{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+j}{j})}^2=1,5,73,1445,33001,\dots$ Plantilla:OEIS

los números de Domb (sin signo) o el número de polígonos de 2n pasos en una retícula en diamante,

$s_{6C}(k)=(-1{)}^k\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2(k-j)}{k-j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})=1,-4,28,-256,2716,\dots$ Plantilla:OEIS

y los números de Almkvist-Zudilin,

$s_{6D}(k)=\sum _{j=0}^k(-1{)}^{k-j}{3}^{k-3j}\frac{(3j)!}{j{!}^3}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{3j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+j}{j})=1,-3,9,-3,-279,2997,\dots$ Plantilla:OEIS

donde $\frac{(3j)!}{j{!}^3}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{3j}{j})$.

Identidades

Las funciones modulares pueden relacionarse como

$P=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_1(k)\frac{1}{(j_{6A}(\tau ){)}^{k+1/2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_2(k)\frac{1}{(j_{6A}(\tau )+4{)}^{k+1/2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_3(k)\frac{1}{(j_{6A}(\tau )-32{)}^{k+1/2}}$

$Q=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{6B}(k)\frac{1}{(j_{6B}(\tau ){)}^{k+1/2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{6C}(k)\frac{1}{(j_{6C}(\tau ){)}^{k+1/2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{6D}(k)\frac{1}{(j_{6D}(\tau ){)}^{k+1/2}}$

si la serie converge y el signo se elige adecuadamente. También se puede observar que

$P=Q=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\alpha {\text{'}}_2(k)\frac{1}{(j_{6A}(\tau )-4{)}^{k+1/2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\alpha {\text{'}}_3(k)\frac{1}{(j_{6A}(\tau )+32{)}^{k+1/2}}$

lo que implica que

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_2(k)\frac{1}{(j_{6A}(\tau )+4{)}^{k+1/2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\alpha {\text{'}}_2(k)\frac{1}{(j_{6A}(\tau )-4{)}^{k+1/2}}$

y de manera similar usando a₃ y a'₃.

Ejemplos

Se puede usar un valor para j_6A de tres maneras. Por ejemplo, comenzando con

$\mathrm{\Delta }=j_{6A}\left(\sqrt{\frac{-17}{6}}\right)=198^2-4=(140\sqrt{2}{)}^2$

y observando que $3\times 17=51$, entonces

$\begin{array}{cc}\frac{1}{\pi }& =\frac{24\sqrt{3}}{35}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_1(k)\frac{51\cdot 11k+53}{(\mathrm{\Delta }{)}^{k+1/2}}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{4\sqrt{3}}{99}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_2(k)\frac{17\cdot 560k+899}{(\mathrm{\Delta }+4{)}^{k+1/2}}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{\sqrt{3}}{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_3(k)\frac{770k+73}{(\mathrm{\Delta }-32{)}^{k+1/2}}\\ \end{array}$

tanto como

$\begin{array}{cc}\frac{1}{\pi }& =\frac{12\sqrt{3}}{9799}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\alpha {\text{'}}_2(k)\frac{11\cdot 51\cdot 560k+29693}{(\mathrm{\Delta }-4{)}^{k+1/2}}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{6\sqrt{3}}{613}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\alpha {\text{'}}_3(k)\frac{51\cdot 770k+3697}{(\mathrm{\Delta }+32{)}^{k+1/2}}\\ \end{array}$

aunque las fórmulas que usan los complementos aparentemente todavía no tienen una prueba rigurosa. Para las otras funciones modulares

$\frac{1}{\pi }=8\sqrt{15}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{6B}(k)(\frac{1}{2}-\frac{3\sqrt{5}}{20}+k)(\frac{1}{{\varphi }^{12}}{)}^{k+1/2},j_{6B}(\sqrt{\frac{-5}{6}})=(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^{12}={\varphi }^{12}$

$\frac{1}{\pi }=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{6C}(k)\frac{3k+1}{32^k},j_{6C}\left(\sqrt{\frac{-1}{3}}\right)=32$

$\frac{1}{\pi }=2\sqrt{3}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{6D}(k)\frac{4k+1}{81^{k+1/2}},j_{6D}\left(\sqrt{\frac{-1}{2}}\right)=81$

Nivel 7

Sea

$s_{7A}(k)=\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+j}{j})=1,4,48,760,13840,\dots$ Plantilla:OEIS

y

$\begin{array}{cc}{j}_{7A}(\tau )& =\left(\right(\frac{\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}{)}^2+7(\frac{\eta (7\tau )}{\eta (\tau )}{)}^2{)}^2=\frac{1}{q}+10+51q+204q^2+681q^3+\dots \\ j_{7B}(\tau )& =(\frac{\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}{)}^4=\frac{1}{q}-4+2q+8q^2-5q^3-4q^4-10q^5+\dots \end{array}$

Ejemplo:

$\frac{1}{\pi }=\frac{\sqrt{7}}{22^3}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{7A}(k)\frac{11895k+1286}{(-22^3{)}^k},j_{7A}\left(\frac{7+\sqrt{-427}}{14}\right)=-22^3+1=-(39\sqrt{7}{)}^2$

Aún no se ha encontrado ninguna fórmula pi usando j_7B.

Nivel 8

Sean

$\begin{array}{cc}{j}_{4B}(\tau )& =(j_{2A}(2\tau ){)}^{1/2}=\frac{1}{q}+52q+834q^3+4760q^5+24703q^7+\dots \\ & =\left(\right(\frac{\eta (\tau ){\eta }^2(4\tau )}{{\eta }^2(2\tau )\eta (8\tau )}{)}^4+4(\frac{{\eta }^2(2\tau )\eta (8\tau )}{\eta (\tau ){\eta }^2(4\tau )}{)}^4{)}^2=((\frac{\eta (2\tau )\eta (4\tau )}{\eta (\tau )\eta (8\tau )}{)}^4-4(\frac{\eta (\tau )\eta (8\tau )}{\eta (2\tau )\eta (4\tau )}{)}^4{)}^2\\ j_{8A^{\prime }}(\tau )& =(\frac{\eta (\tau ){\eta }^2(4\tau )}{{\eta }^2(2\tau )\eta (8\tau )}{)}^8=\frac{1}{q}-8+36q-128q^2+386q^3-1024q^4+\dots \\ j_{8A}(\tau )& =(\frac{\eta (2\tau )\eta (4\tau )}{\eta (\tau )\eta (8\tau )}{)}^8=\frac{1}{q}+8+36q+128q^2+386q^3+1024q^4+\dots \\ j_{8B}(\tau )& =(j_{4A}(2\tau ){)}^{1/2}=(\frac{{\eta }^2(4\tau )}{\eta (2\tau )\eta (8\tau )}{)}^{12}=\frac{1}{q}+12q+66q^3+232q^5+639q^7+\dots \end{array}$

La expansión de la primera es la serie de McKay-Thompson de la clase 4B (y es la raíz cuadrada de otra función). La cuarta también es la raíz cuadrada de otra función. Sea

$s_{4B}(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k{4}^{k-2j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2j}){(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k-2j}{k-j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})=1,8,120,2240,47320,\dots$

$s_{8A^{\prime }}(k)=(-1{)}^k\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})}^2{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{k})}^2=1,-4,40,-544,8536,\dots$

$s_{8B}(k)=\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})}^3(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k-4j}{k-2j})=1,2,14,36,334,\dots$

donde el primero es el producto del coeficiente binomial central y una secuencia relacionada con una media aritmético-geométrica Plantilla:OEIS,

Ejemplos:

$\frac{1}{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{13}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{4B}(k)\frac{70\cdot 99k+579}{(16+396^2{)}^{k+1/2}},j_{4B}\left(\frac{1}{4}\sqrt{-58}\right)=396^2$

$\frac{1}{\pi }=\frac{\sqrt{-2}}{70}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{4B}(k)\frac{58\cdot 13\cdot 99k+6243}{(16-396^2{)}^{k+1/2}}$

$\frac{1}{\pi }=2\sqrt{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{8A^{\prime }}(k)\frac{-222+377\sqrt{2}(k+\frac{1}{2})}{(4(1+\sqrt{2}{)}^{12}{)}^{k+1/2}},j_{8A^{\prime }}\left(\frac{1}{4}\sqrt{-58}\right)=4(1+\sqrt{2}{)}^{12},j_{8A}(\frac{1}{4}\sqrt{-58})=4(99+13\sqrt{58}{)}^2=4U_{58}^2$

$\frac{1}{\pi }=\frac{\sqrt{3/5}}{16}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{8B}(k)\frac{210k+43}{(64{)}^{k+1/2}},j_{4B}\left(\frac{1}{4}\sqrt{-7}\right)=64$

aunque todavía no se conoce la fórmula pi usando j_8A(t).

Nivel 9

Sea

$\begin{array}{cc}{j}_{3C}(\tau )& =(j(3\tau ){)}^{1/3}=-6+(\frac{{\eta }^2(3\tau )}{\eta (\tau )\eta (9\tau )}{)}^6-27(\frac{\eta (\tau )\eta (9\tau )}{{\eta }^2(3\tau )}{)}^6=\frac{1}{q}+248q^2+4124q^5+34752q^8+\dots \\ j_{9A}(\tau )& =(\frac{{\eta }^2(3\tau )}{\eta (\tau )\eta (9\tau )}{)}^6=\frac{1}{q}+6+27q+86q^2+243q^3+594q^4+\dots \\ \end{array}$

La expansión de la primera es la serie de McKay- Thompson de la clase 3C (relacionada con la raíz cúbica de la función j), mientras que la segunda es la de la clase 9A. Sea

$s_{3C}(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k(-3{)}^{k-3j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-j}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-2j}{j})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k(-3{)}^{k-3j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{3j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})(\genfrac{}{}{0ex}{}{3j}{j})=1,-6,54,-420,630,\dots$

$s_{9A}(k)=\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})}^2\sum _{m=0}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m})(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{m})(\genfrac{}{}{0ex}{}{j+m}{k})=1,3,27,309,4059,\dots$

donde el primero es el producto de los coeficientes binomiales centrales y Plantilla:OEIS (aunque con diferentes signos).

Ejemplos:

$\frac{1}{\pi }=\frac{-𝒊}{9}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{3C}(k)\frac{602k+85}{(-960-12{)}^{k+1/2}},j_{3C}\left(\frac{3+\sqrt{-43}}{6}\right)=-960$

$\frac{1}{\pi }=6𝒊\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{9A}(k)\frac{4-\sqrt{129}(k+\frac{1}{2})}{(-3\sqrt{3U_{129}}{)}^{k+1/2}},j_{9A}\left(\frac{3+\sqrt{-43}}{6}\right)=-3\sqrt{3}(53\sqrt{3}+14\sqrt{43})=-3\sqrt{3U_{129}}$

Nivel 10

Funciones modulares

Sea

$\begin{array}{cc}{j}_{10A}(\tau )& =j_{10B}(\tau )+\frac{16}{j_{10B}(\tau )}+8=j_{10C}(\tau )+\frac{25}{j_{10C}(\tau )}+6=j_{10D}(\tau )+\frac{1}{j_{10D}(\tau )}-2=\frac{1}{q}+4+22q+56q^2+\dots \end{array}$

$\begin{array}{cc}{j}_{10B}(\tau )& =(\frac{\eta (\tau )\eta (5\tau )}{\eta (2\tau )\eta (10\tau )}{)}^4=\frac{1}{q}-4+6q-8q^2+17q^3-32q^4+\dots \end{array}$

$\begin{array}{cc}{j}_{10C}(\tau )& =(\frac{\eta (\tau )\eta (2\tau )}{\eta (5\tau )\eta (10\tau )}{)}^2=\frac{1}{q}-2-3q+6q^2+2q^3+2q^4+\dots \end{array}$

$\begin{array}{cc}{j}_{10D}(\tau )& =(\frac{\eta (2\tau )\eta (5\tau )}{\eta (\tau )\eta (10\tau )}{)}^6=\frac{1}{q}+6+21q+62q^2+162q^3+\dots \end{array}$

$\begin{array}{cc}{j}_{10E}(\tau )& =\left(\frac{\eta (2\tau ){\eta }^5(5\tau )}{\eta (\tau ){\eta }^5(10\tau )}\right)=\frac{1}{q}+1+q+2q^2+2q^3-2q^4+\dots \end{array}$

Al igual que el nivel 6, también existen relaciones lineales, como

$T_{10A}-T_{10B}-T_{10C}-T_{10D}+2T_{10E}=0$

o usando los cocientes eta anteriores j_n,

$j_{10A}-j_{10B}-j_{10C}-j_{10D}+2j_{10E}=6$

Secuencias ß

Sea

${\beta }_1(k)=\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})}^4=1,2,18,164,1810,\dots$ Plantilla:OEIS, etiquetado como s₁₀ en el artículo de Cooper)

${\beta }_2(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})}^{-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})\sum _{m=0}^j{(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{m})}^4=1,4,36,424,5716,\dots$

${\beta }_3(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})}^{-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})(-4{)}^{k-j}\sum _{m=0}^j{(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{m})}^4=1,-6,66,-876,12786,\dots$

sus complementos

${\beta }_{2^{\prime }}(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})}^{-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})(-1{)}^{k-j}\sum _{m=0}^j{(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{m})}^4=1,0,12,24,564,2784,\dots$

${\beta }_{3^{\prime }}(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\sum _{j=0}^k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2j}{j})}^{-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})(4{)}^{k-j}\sum _{m=0}^j{(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{m})}^4=1,10,162,3124,66994,\dots$

y,

$s_{10B}(k)=1,-2,10,-68,514,-4100,33940,\dots$

$s_{10C}(k)=1,-1,1,-1,1,23,-263,1343,-2303,\dots$

$s_{10D}(k)=1,3,25,267,3249,42795,594145,\dots$

aunque aún no se conocen formas cerradas para las últimas tres secuencias.

Identidades

Las funciones modulares se pueden relacionar como

$U=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_1(k)\frac{1}{(j_{10A}(\tau ){)}^{k+1/2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_2(k)\frac{1}{(j_{10A}(\tau )+4{)}^{k+1/2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_3(k)\frac{1}{(j_{10A}(\tau )-16{)}^{k+1/2}}$

$V=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{10B}(k)\frac{1}{(j_{10B}(\tau ){)}^{k+1/2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{10C}(k)\frac{1}{(j_{10C}(\tau ){)}^{k+1/2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{10D}(k)\frac{1}{(j_{10D}(\tau ){)}^{k+1/2}}$

si la serie converge. De hecho, también se puede observar que

$U=V=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{{\beta }_2}^{\prime }(k)\frac{1}{(j_{10A}(\tau )-4{)}^{k+1/2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{{\beta }_3}^{\prime }(k)\frac{1}{(j_{10A}(\tau )+16{)}^{k+1/2}}$

Dado que el exponente tiene una parte fraccional, el signo de la raíz cuadrada debe elegirse adecuadamente, aunque es un problema más sencillo cuando j_n es positivo.

Ejemplos

Al igual que el nivel 6, la función de nivel 10 j_10A se puede utilizar de tres maneras. Empezando con

$j_{10A}\left(\sqrt{\frac{-19}{10}}\right)=76^2$

y observando que $5\times 19=95$, entonces

$\begin{array}{cc}\frac{1}{\pi }& =\frac{5}{\sqrt{95}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_1(k)\frac{408k+47}{(76^2{)}^{k+1/2}}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{1}{17\sqrt{95}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_2(k)\frac{19\cdot 1824k+3983}{(76^2+4{)}^{k+1/2}}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{1}{6\sqrt{95}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_3(k)\frac{19\cdot 646k+1427}{(76^2-16{)}^{k+1/2}}\\ \end{array}$

tanto como

$\begin{array}{cc}\frac{1}{\pi }& =\frac{5}{481\sqrt{95}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{{\beta }_2}^{\prime }(k)\frac{19\cdot 10336k+22675}{(76^2-4{)}^{k+1/2}}\\ \frac{1}{\pi }& =\frac{5}{181\sqrt{95}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{{\beta }_3}^{\prime }(k)\frac{19\cdot 3876k+8405}{(76^2+16{)}^{k+1/2}}\end{array}$

aunque los que usan los complementos aún no tienen una prueba rigurosa. Una fórmula conjeturada que usa una de las últimas tres secuencias, es

$\frac{1}{\pi }=\frac{𝒊}{\sqrt{5}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{10C}(k)\frac{10k+3}{(-5^2{)}^{k+1/2}},j_{10C}\left(\frac{1+𝒊}{2}\right)=-5^2$

lo que implica que podría haber ejemplos para todas las secuencias de nivel 10.

Nivel 11

Sea la serie de McKay-Thompson de la clase 11A

$j_{11A}(\tau )=(1+3F{)}^3+(\frac{1}{\sqrt{F}}+3\sqrt{F}{)}^2=\frac{1}{q}+6+17q+46q^2+116q^3+\dots$

donde

$F=\frac{\eta (3\tau )\eta (33\tau )}{\eta (\tau )\eta (11\tau )}$

y

$s_{11A}(k)=1,4,28,268,3004,36784,476476,\dots$

Aún no se conoce una forma cerrada en términos de coeficientes binomiales para la secuencia, pero obedece a la relación de recurrencia

$(k+1{)}^3{s}_{k+1}=2(2k+1)(5k^2+5k+2)s_k-8k(7k^2+1)s_{k-1}+22k(k-1)(2k-1)s_{k-2}$

con condiciones iniciales s(0) = 1, s(1) = 4.

Ejemplo:

$\frac{1}{\pi }=\frac{𝒊}{22}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_{11A}(k)\frac{221k+67}{(-44{)}^{k+1/2}},j_{11A}\left(\frac{1+\sqrt{-17/11}}{2}\right)=-44$

Niveles más altos

Como señaló Cooper, hay secuencias análogas para ciertos niveles superiores.

Series similares

R. Steiner encontró ejemplos usando los números de Catalan $C_k$

$\frac{1}{\pi }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(2C_{k-n})}^2\frac{(4z)k+(2^{4(n-2)+2}-(4n-3)z)}{2^{4k}}(z\in \mathbb{Z},n\ge 2,n\in \mathbb{N})$

para los que existe una forma modular con un segundo periódico para k $k=\frac{1}{16}((-20-12𝒊)+16n),k=\frac{1}{16}((-20+12𝒊)+16n)$ Otras series similares son

$\frac{1}{\pi }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(2C_{k-2})}^2\frac{3k+\frac{1}{4}}{2^{4k}}$

$\frac{1}{\pi }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(2C_{k-1})}^2\frac{(4z+1)k-z}{2^{4k}}(z\in \mathbb{Z})$

$\frac{1}{\pi }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(2C_{k-1})}^2\frac{-1k+\frac{1}{2}}{2^{4k}}$

$\frac{1}{\pi }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(2C_{k-1})}^2\frac{0k+\frac{1}{4}}{2^{4k}}$

$\frac{1}{\pi }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(2C_{k-1})}^2\frac{\frac{k}{5}+\frac{1}{5}}{2^{4k}}$

$\frac{1}{\pi }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(2C_{k-1})}^2\frac{\frac{k}{3}+\frac{1}{6}}{2^{4k}}$

$\frac{1}{\pi }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(2C_{k-1})}^2\frac{\frac{k}{2}+\frac{1}{8}}{2^{4k}}$

$\frac{1}{\pi }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(2C_{k-1})}^2\frac{2k-\frac{1}{4}}{2^{4k}}$

$\frac{1}{\pi }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(2C_{k-1})}^2\frac{3k-\frac{1}{2}}{2^{4k}}$

$\frac{1}{\pi }=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(2C_k)}^2\frac{\frac{k}{16}+\frac{1}{16}}{2^{4k}}$

con el último (comentarios en Plantilla:OEIS encontrado mediante el uso de una combinación lineal de partes superiores de las series de Wallis-Lambert para 4/Pi y de Euler para el perímetro de una elipse.

Usando la definición de los números Catalan con la función gamma, el primero y el último, por ejemplo, dan las identidades

$\frac{1}{4}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+k)}{\mathrm{\Gamma }(2+k)}\right)}^2(4zk-(4n-3)z+2^{4(n-2)+2})(z\in \mathbb{Z},n\ge 2,n\in \mathbb{N})$

$4=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+k)}{\mathrm{\Gamma }(2+k)}\right)}^2(k+1)$ .

El último también es equivalente a

$\frac{1}{\pi }=\frac{1}{4}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}^2}{k+1}\frac{1}{2^{4k}}$

y está relacionado con el hecho de que

$\pi =\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2^{4k}}{k{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})}^2}$

que es consecuencia de la aproximación de Stirling.

Véase también

• Algoritmo de Chudnovsky
• Algoritmo de Borwein

Enlaces externos

• Números de Franel
• Serie de McKay-Thompson
• Aproximaciones a Pi a través de la función eta de Dedekind