Automorfismo interno

En álgebra abstracta, un automorfismo interno es un automorfismo de un grupo, anillo, o álgebra dado por la acción de conjugación de un elemento dado. Los automorfismos internos forman un subgrupo del grupo de automorfismos.

Definición

Si Plantilla:Mvar es un grupo y Plantilla:Mvar es un elemento de Plantilla:Mvar (alternativamente, si Plantilla:Mvar es un anillo y Plantilla:Mvar es una unidad), la función

$\begin{array}{cc}{\phi }_g:G& \to G\\ {\phi }_g(x)& :=g^{-1}xg\end{array}$

se llama conjugación por Plantilla:Mvar. Esta función es un endomorfismo de Plantilla:Mvar: para todo $x_1,x_2\in G,$

${\phi }_g(x_1{x}_2)=g^{-1}{x}_1{x}_{2}g=\left(g^{-1}{x}_{1}g\right)\left(g^{-1}{x}_{2}g\right)={\phi }_g(x_1){\phi }_g(x_2),$

donde la segunda igualdad es dada por la inserción del elemento neutro entre $x_1$ y $x_2.$ Además, tiene una función inversa por la izquierda y por la derecha, a la que podemos llamar ${\phi }_{g^{-1}}.$ Por tanto, ${\phi }_g$ es biyectiva, así como un isomorfismo de Plantilla:Mvar en sí mismo; es decir, un automorfismo. Un automorfismo interno es cualquier automorfismo que surge de la conjugación.

Grupos de automorfismos internos y externos

La composición de funciones de dos automorfismos internos es también un automorfismo interno, y, con esta operación, la colección de todos los automorfismos internos de Plantilla:Mvar es un grupo, el grupo de automorfismos internos de Plantilla:Mvar, denotado por Plantilla:Math.

Plantilla:Math es un subgrupo normal del grupo de automorfismos Plantilla:Math de Plantilla:Mvar. El grupo de automorfismos externos, Plantilla:Math, es el grupo cociente

$\mathrm{Ext}(G)=\mathrm{Aut}(G)/\mathrm{Int}(G).$

El grupo de automorfismos externos mide, en cierto sentido, cuántos automorfismos de Plantilla:Mvar no son internos. A todo automorfismo no interno se le puede asignar un elemento no trivial de Plantilla:Math, pero automorfismos no lineales diferentes pueden tener asignado un mismo elemento de Plantilla:Math.

Decir que la conjugación de Plantilla:Mvar por Plantilla:Mvar no modifica a Plantilla:Mvar equivale a decir que Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar conmutan:

$a^{-1}xa=x⟺xa=ax.$

Por lo tanto, la existencia y el número de automorfismos internos que no son la función identidad son una manera de medir la no-conmutatividad del grupo (o anillo).

Asociando el elemento Plantilla:Math con el automorfismo interno Plantilla:Math en Plantilla:Math, se obtiene un isomorfismo entre el grupo cociente Plantilla:Math (donde Plantilla:Math es el centro de Plantilla:Mvar) y el grupo de automorfismos internos:

$G/\mathrm{Z}(G)\cong \mathrm{Inn}(G).$

Esta es una consecuencia del primer teorema de isomorfía, pues Plantilla:Math es precisamente el conjunto de aquellos elementos de Plantilla:Mvar que tienen asociada la función identidad como automorfismo interno correspondiente (la conjugación no cambia nada).

Tipos de grupos

El automorfismo interno de un grupo Plantilla:Mvar, Plantilla:Math, es trivial (es decir, contiene únicamente al elemento neutro) si y solo si Plantilla:Mvar es abeliano.

El grupo Plantilla:Math es cíclico solo cuando es trivial.

Al otro lado del espectro, los automorfismos internos pueden llenar el grupo de automorfismos Plantilla:Math entero. Un grupo cuyos automorfismos son todos internos y cuyo centro es trivial se llama completo. Este es el caso de todos los grupos simétricos de Plantilla:Mvar elementos con Plantilla:Mvar distinto de 2 o 6. Cuando Plantilla:Mvar = 6, el grupo simétrico tiene una clase no trivial de automorfismos no internos única; y, cuando Plantilla:Mvar = 2, el grupo simétrico, aunque no tenga automorfismos no internos, es abeliano, por lo que tiene un centro no trivial, impidiendo que se pueda considerar completo.

Si el grupo de automorfismos internos de un grupo perfecto Plantilla:Mvar es simple, entonces Plantilla:Mvar se considera cuasisimple.

Extensión

Si Plantilla:Mvar es el grupo de unidades de un anillo, Plantilla:Mvar, entonces un automorfismo interno en Plantilla:Mvar puede extenderse a un mapeo en la recta proyectiva sobre Plantilla:Mvar por el grupo de unidades del anillo de matrices. En particular, el automorfismo interno del grupo clásico puede ser extendido de esa manera.