Base canónica

Cada vector a en tres dimensiones es una combinación lineal de los vectores que forman la base canónica i, j y k.

En álgebra lineal, la base canónica o base usual del espacio vectorial ${𝕂}^n$ sobre un cuerpo $𝕂$ es el conjunto de los $n$ vectores cuya única coordenada distinta de cero vale 1. Es decir, consta en el siguiente orden de los vectores:

$ℬ=\{(1,0,\dots ,0),(0,1,\dots ,0),\dots ,(0,0,\dots ,1)\}.$

Cuando el cuerpo base es $ℝ$ o $ℂ$, se trata de una base ortonormal para el producto escalar usual.

Como ejemplo en ${ℝ}^3$, la base canónica es $ℬ=\{\mathbf{\text{i}},\mathbf{\text{j}},\mathbf{\text{k}}\}$, donde $\mathbf{\text{i}}=(1,0,0)$, $\mathbf{\text{j}}=(0,1,0)$ y $\mathbf{\text{k}}=(0,0,1)$. Un vector cualquiera $𝐯=(x,y,z)\in {ℝ}^3$ se representa de forma única a través de una combinación lineal de los vectores básicos:

$\mathbf{\text{v}}=x𝐢+y𝐣+z𝐤$

Por ejemplo:

$(-1,5,3)=-𝐢+5𝐣+3𝐤$

Plano y espacio euclídeos

El plano vectorial ${ℝ}^2$ y el espacio ${ℝ}^3$ se construyen ambos como el producto cartesiano de copias de la recta real:

${ℝ}^2=ℝ\times ℝ$.

${ℝ}^3=ℝ\times ℝ\times ℝ$.

Por lo tanto, los vectores del plano se representan mediante dos componentes: $𝐯=(a,b)$. Si se dibujan los ejes cartesianos, entonces $a$ indica el desplazamiento en el eje $X$ necesario para dibujar el vector $𝐯$, mientras que $b$ es el desplazamiento en el eje $Y$.

En otras palabras, si se ponen $a$ copias del vector $𝐢=(1,0)$ seguidas por $b$ copias del vector $𝐣=(0,1)$, colocadas de acuerdo con la regla geométrica de la suma de vectores, el vector suma obtenido es precisamente $𝐯$. Exactamente lo mismo ocurre en el espacio, donde $𝐯=(a,b,c)$ y la $c$ representa el desplazamiento en el eje $Z$, o el número de copias de $𝐤=(0,0,1)$ necesarias.

Las componentes $a$, $b$ y $c$ coinciden con las proyecciones ortogonales de $𝐯$ respecto de los ejes $X$, $Y$, $Z$, respectivamente.

La base canónica además de generar el espacio vectorial, le induce su producto escalar usual, y por ende su norma euclídea, que mide la distancia de un vector al cero en línea recta, considerando a los vectores de la base usual como ortogonales y unitarios. Como se toman de referencia en dichas definiciones, los vectores i , j y k forman una base ortonormal (son ortogonales y unitarios). Sin embargo, esta propiedad no caracteriza a la base canónica. Otra base ortonormal del espacio viene dada por:

$\{(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0),(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0),(0,0,1)\},$

que incluso tiene la misma orientación que la usual. No obstante, la base usual es la más sencilla posible con estas propiedades.

Esta misma construcción se generaliza a espacios de dimensión arbitraria.

Ejemplo

Cada vector a en tres dimensiones es una combinación lineal de los vectores que forman la base canónica i, j y k.

Observando la figura, el sistema de coordenadas está formado por las rectas: $\text{x (eje de abscisas)}$ , $\text{y (eje de ordenadas)}$ y $\text{z (eje de cotas)}$.

Los vectores directores de cada una de las rectas de los ejes de coordenadas que conforman la base canónica son: $\text{i}$, $\text{j}$ y $\text{k}$.

El vector ${𝐚}_x$ es generado por $\text{i}$ de tal forma que es λ veces mayor que este.

El vector ${𝐚}_y$ es generado por $\text{j}$ de tal forma que es μ veces mayor que este.

El vector ${𝐚}_z$ es generado por $\text{k}$ de tal forma que es ν veces mayor que este.

Por lo tanto, se verifican las siguientes igualdades:

$a_x=\lambda$

$a_y=\mu$

$a_z=\nu$

$𝐚=(a_x,a_y,a_z)=\lambda 𝐢+\mu 𝐣+\nu 𝐤=\lambda (1,0,0)+\mu (0,1,0)+\nu (0,0,1)=(\lambda ,0,0)+(0,\mu ,0)+(0,0,\nu )=(\lambda ,\mu ,\nu )$.

Generalización

Para cualquier anillo (unitario) $R$ y conjunto $I$, se define el módulo libre $R^{(I)}$ como el conjunto de todas las aplicaciones $f:I\to R$ de soporte finito. Si para cada $i\in I$ definimos el vector básico

${𝐞}_i(j)={\delta }_{ij}$,

donde $\delta$ representa a la delta de Kronecker, entonces la familia

$\{{𝐞}_i:i\in I\}$

forma una base del módulo $R^{(I)}$. Se recupera el concepto de base canónica cuando $R$ es un cuerpo e $I=\{1,\dots ,n\}.$

Véase también

• Cuadrante (geometría)
• Vector (física)
• Espacio vectorial
• Combinación lineal
• Independencia lineal
• Base (álgebra)
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Producto escalar

Referencias

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro