Conjetura de Euler

La conjetura de Euler, también conocida como la conjetura de la suma de potencias de Euler, es una conjetura matemática refutada, relacionada con el último teorema de Fermat. Fue propuesta por Leonhard Euler en 1769. Establece que para todos los números enteros Plantilla:Math y Plantilla:Math mayores que 1, si la suma de Plantilla:Math Plantilla:Math-ésimas potencias de enteros positivos es en sí misma una Plantilla:Math-ésima potencia, entonces Plantilla:Math es mayor o igual que Plantilla:Math:

Plantilla:Math ⇒ Plantilla:Math

La conjetura representa un intento de generalizar el último teorema de Fermat, que es un caso especial de Plantilla:Math: si Plantilla:Math, entonces Plantilla:Math.

Aunque la conjetura es válida para el caso Plantilla:Math (que se sigue del último teorema de Fermat para las terceras potencias), fue refutada para Plantilla:Math y Plantilla:Math. Se desconoce si la conjetura falla o es válida para cualquier valor Plantilla:Math.

Trasfondo

Euler era consciente de la igualdad Plantilla:Nowrap que involucra sumas de potencias a la cuarta potencia. Sin embargo, no se trata de un contraejemplo porque ningún término está aislado en un lado de la ecuación. También proporcionó una solución completa al problema de los cuatro cubos como en el número de Platón Plantilla:Nowrap o el número taxicab 1729. La solución general de la ecuación

$x_1^3+x_2^3=x_3^3+x_4^3$

es

$x_1=1-(a-3b)(a^2+3b^2),x_2=(a+3b)(a^2+3b^2)-1$

$x_3=(a+3b)-(a^2+3b^2{)}^2,x_4=(a^2+3b^2{)}^2-(a-3b)$

donde Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar son enteros cualesquiera.

Contraejemplos

La conjetura de Euler fue refutada por Leon Lander y Thomas Parkin en 1966 cuando, a través de una búsqueda directa por computadora en un CDC 6600, encontraron un contraejemplo para Plantilla:Math. Este descubrimiento se publicó en un artículo que constaba de solo dos frases. Se conocen un total de tres contraejemplos primitivos (es decir, en los que no todos los sumandos tienen un factor común):

Plantilla:Math (Lander & Parkin, 1966),

Plantilla:Math (Scher & Seidl, 1996), and

Plantilla:Math (Frye, 2004).

En 1988, Noam Elkies publicó un método para construir una serie infinita de contraejemplos para el caso Plantilla:Math. Su contraejemplo más pequeño es

Plantilla:Math.

Un caso particular de las soluciones de Elkies se puede reducir a la identidad

Plantilla:Math

donde

Plantilla:Math.

Esta es una curva elíptica con un punto racional en Plantilla:Math. A partir de este punto racional inicial, se puede calcular una colección infinita de otros puntos. La sustitución de v₁ en la identidad y la eliminación de factores comunes genera el ejemplo numérico citado anteriormente.

En 1988, Roger Frye encontró el contraejemplo más pequeño posible para Plantilla:Math

Plantilla:Math

realizando una búsqueda informática directa mediante técnicas sugeridas por Elkies. Esta solución es la única con valores de las variables por debajo de 1.000.000.

Generalizaciones

Una interpretación del número de Platón, Plantilla:Nowrap

En 1967, LJ Lander, TR Parkin y John Selfridge conjeturaron que si

$\sum _{i=1}^n{a}_i^k=\sum _{j=1}^m{b}_j^k$ ,

donde Plantilla:Math son números enteros positivos para todo Plantilla:Math Plantilla:Math, entonces Plantilla:Math. En el caso especial Plantilla:Math, la conjetura establece que si

$\sum _{i=1}^n{a}_i^k=b^k$

bajo las condiciones dadas anteriormente, entonces Plantilla:Math.

El caso especial puede describirse como el problema de dividir una potencia perfecta en potencias similares. Para Plantilla:Math y Plantilla:Math o Plantilla:Math, hay muchas soluciones conocidas. Algunas de ellas se enumeran a continuación. En 2002 no se habían hallado soluciones para $k=6$, cuyo término final es ≤ 730000.

Plantilla:Math

Plantilla:Nowrap (Número de Platón 216)

Este es el caso a = 1, b = 0 de la fórmula de Srinivasa Ramanujan

$(3a^2+5ab-5b^2{)}^3+(4a^2-4ab+6b^2{)}^3+(5a^2-5ab-3b^2{)}^3=(6a^2-4ab+4b^2{)}^3.$

Un cubo como la suma de tres cubos también se puede parametrizar como

$a^3(a^3+b^3{)}^3=b^3(a^3+b^3{)}^3+a^3(a^3-2b^3{)}^3+b^3(2a^3-b^3{)}^3$

o como

$a^3(a^3+2b^3{)}^3=a^3(a^3-b^3{)}^3+b^3(a^3-b^3{)}^3+b^3(2a^3+b^3{)}^3.$

El número 2 100 000³ se puede expresar como la suma de tres cubos de nueve formas diferentes.

Plantilla:Math

Plantilla:Math (R. Frye, 1988)

Plantilla:Math (R. Norrie, 1911)

Esta es la solución más pequeña al problema de R. Norrie.

Plantilla:Math

Plantilla:Math (Lander & Parkin, 1966)

Plantilla:Math (Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)

Plantilla:Math (Lander, Parkin, Selfridge, second smallest, 1967)

Plantilla:Math (Sastry, 1934, third smallest)

Plantilla:Math

Plantilla:Math (M. Dodrill, 1999)

Plantilla:Math

Plantilla:Math (S. Chase, 2000)

Véase también

• Conjetura de Beal
• Cuádruple pitagórico
• Número de taxi generalizado

Enlaces externos

• Tito Piezas III, una colección de identidades algebraicas Plantilla:Wayback
• Jaroslaw Wroblewski, sumas iguales de potencias similares
• Ed Pegg Jr., Juegos de matemáticas, Power Sums
• James Waldby, Una tabla de quintas potencias igual a un quinto poder (2009)
• R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert, Todas las soluciones de la ecuación diofántica a ⁶ + b ⁶ = c ⁶ + d ⁶ + e ⁶ + f ⁶ + g ⁶ para a, b, c, d, e, f, g <250000 encontradas con un proyecto distribuido de Boinc
• EulerNet: Cálculo de sumas mínimas iguales de potencias similares
• Conjetura de Euler en library.thinkquest.org
• ¡Una simple explicación de la conjetura de Euler en matemáticas es buena para ti!