Conjunto grueso

En matemáticas, un conjunto grueso o conjunto con grosor (thick set en inglés) es un Conjunto de números enteros que contiene intervalos arbitrariamente largos. Es decir, dado un conjunto grueso $T$, para cada $p\in \mathbb{N}$, hay algún $n\in \mathbb{N}$ tal que $\{n,n+1,n+2,...,n+p\}\subset T$.

Ejemplos

Trivialmente, $\mathbb{N}$ es un conjunto grueso. Otros conjuntos bien conocidos que son gruesos incluyen los no primos y los no cuadrados. Los conjuntos gruesos también pueden ser escasos, por ejemplo:

$$\bigcup _{n\in \mathbb{N}}\{x:x=10^n+m:0\le m\le n\}.$$

Generalizaciones

La noción de un conjunto grueso también se puede definir de manera más general para un semigrupo, de la siguiente manera. Dado un semigrupo $(S,\cdot )$ y $A\subseteq S$, se dice que $A$ es grueso si para cualquier subconjunto finito $F\subseteq S$, existe $x\in S$ tal que

$$F\cdot x=\{f\cdot x:f\in F\}\subseteq A.$$

Se puede comprobar que cuando el semigrupo en consideración son los números naturales $\mathbb{N}$ con la operación de suma $+$, esta definición es equivalente a la anterior.

Véase también

• Cofinal (matemáticas)
• Topología cofinita
• Teoría ergódica de Ramsey
• Conjunto sindético por partes
• Conjunto sindético

Bibliografía

• J. McLeod, "Some Notions of Size in Partial Semigroups", Topology Proceedings, Vol. 25 (Summer 2000), pp. 317-332.
• Vitaly Bergelson, "Minimal Idempotents and Ergodic Ramsey Theory", Topics in Dynamics and Ergodic Theory 8-39, London Math. Soc. Lecture Note Series 310, Cambridge Univ. Press, Cambridge, (2003)
• Vitaly Bergelson, N. Hindman, "Partition regular structures contained in large sets are abundant", Journal of Combinatorial Theory, Series A 93 (2001), pp. 18-36
• N. Hindman, D. Strauss. Algebra in the Stone-Čech Compactification. p104, Def. 4.45.