Constante de Glaisher-Kinkelin

En matemáticas, la constante de Glaisher-Kinkelin o constante de Glaisher, denotada como Plantilla:Mvar, es una constante matemática relacionada con funciones especiales como la [[Función K|función Plantilla:Mvar]], la [[Función G de Barnes|función Plantilla:Mvar de Barnes]], la función gamma y la función zeta de Riemann. Lleva el nombre de los matemáticos James Glaisher y Hermann Kinkelin .

Su valor aproximado es:

Plantilla:Mvar = 1.282 427 129 100 622 636 87

La constante de Glaisher-Kinkelin $A$ se define mediante el siguiente límite :

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{H(n)}{n^{\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}+\frac{1}{12}}{e}^{-\frac{n^2}{4}}}$

dónde $H(n)$ es el hiperfactorial:

$H(n)=\prod _{i=1}^n{i}^i=1^1\cdot 2^2\cdot 3^3\cdot ...\cdot n^n$

que presenta una similitud entre con la fórmula de Stirling:

$\sqrt{2\pi }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!}{n^{n+\frac{1}{2}}{e}^{-n}}$

con el factorial regular:

$n!=\prod _{i=1}^{n}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n$

Esto demuestra que así como $\sqrt{2\pi }$ se obtiene a partir de la aproximación de los factoriales, $A$ se obtiene a partir de la aproximación de los hiperfactoriales.

Relación con funciones especiales

Así como los factoriales pueden extenderse a los números complejos mediante la función gamma tal que $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$ para números naturales n, los hiperfactoriales se pueden extender mediante la función K con $K(n)=H(n-1)$, también para números naturales n. Tenemos:

$K(z):=(2\pi {)}^{-\frac{z-1}{2}}\exp [(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{2})+\underset{0}{\overset{z-1}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(t+1)dt]$

Esto nos da:

$A=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{K(n+1)}{n^{\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}+\frac{1}{12}}{e}^{-\frac{n^2}{4}}}$ .

Una función relacionada con la función K es la [[Función G de Barnes|función Plantilla:Mvar de Barnes]], que es definida como

$G(n)=\frac{(\mathrm{\Gamma }(n){)}^{n-1}}{K(n)}$

y para el cual existe un límite similar:

$\frac{1}{A}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{G(n+1)}{{\left(2\pi \right)}^{\frac{n}{2}}{n}^{\frac{n^2}{2}-\frac{1}{12}}{e}^{-\frac{3n^2}{4}+\frac{1}{12}}}$ .

La constante de Glaisher también aparece en la evaluación de la función K y la función Barnes-G en valores racionales como los siguientes:

$K(1/2)=\frac{A^{3/2}}{2^{1/24}{e}^{1/8}}$

$K(1/4)=A^{9/8}\exp (\frac{G}{4\pi }-\frac{3}{32})$

$G(1/2)=\frac{2^{1/24}{e}^{1/8}}{A^{3/2}{\pi }^{1/4}}$

$G(1/4)=\frac{1}{2^{9/16}{A}^{9/8}{\pi }^{3/16}{\varpi }^{3/8}}\exp (\frac{3}{32}-\frac{G}{4\pi })$

Tenemos la constante del catalán $G$ y la constante de la lemniscata $\varpi$.

El logaritmo de G ( z + 1) tiene la siguiente expansión asintótica:

$\ln G(z+1)=\frac{z^2}{2}\ln z-\frac{3z^2}{4}+\frac{z}{2}\ln 2\pi -\frac{1}{12}\ln z+(\frac{1}{12}-\ln A)+\sum _{k=1}^N\frac{B_{2k+2}}{4k(k+1)z^{2k}}+O\left(\frac{1}{z^{2N+2}}\right)$

La constante $A$ También se puede utilizar para dar algunos valores de la derivada de la función zeta de Riemann como expresiones de forma cerrada, tales como:

${\zeta }^{\prime }(-1)=\frac{1}{12}-\ln A$

${\zeta }^{\prime }(2)=\frac{{\pi }^2}{6}(\gamma +\ln 2\pi -12\ln A)$

con Plantilla:Mvar siendo la constante de Euler-Mascheroni .

Sumas y productos

La fórmula anterior para ${\zeta }^{\prime }(2)$ da la siguiente suma:

$\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln k}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}(12\ln A-\gamma -\ln 2\pi )$

la cual nos da un producto relacionado encontrado por Glaisher :

$\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^{\frac{1}{k^2}}={\left(\frac{A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}\right)}^{\frac{{\pi }^2}{6}}$

De manera similar tenemos la suma

$\sum _{k=3,5,7,...}\frac{\ln k}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{24}(36\ln A-3\gamma -\ln 16{\pi }^3)$

Lo cual da:

$\prod _{k=3,5,7,...}{k}^{\frac{1}{k^2}}={\left(\frac{A^{36}}{16{\pi }^3{e}^{3\gamma }}\right)}^{\frac{{\pi }^2}{24}}$

Un producto alternativo, definida sobre los números primos:

$\prod _{p\text{ primo}}^{\mathrm{\infty }}{p}^{\frac{1}{p^2-1}}=\frac{A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}$

Una representación en serie para esta constante se deriva de una serie para la función zeta de Riemann dada por Jesus Guillera:

$\ln A=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(k+1{)}^2\ln (k+1)$

Integrales

Las siguientes son algunas integrales relacionadas con la constante de Glaisher:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\ln x}{e^{2\pi x}-1}dx=\frac{1}{24}-\frac{1}{2}\ln A$

$\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(x)dx=\frac{3}{2}\ln A+\frac{5}{24}\ln 2+\frac{1}{4}\ln \pi$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(1-e^{-x/2})(x\coth \frac{x}{2}-2)}{x^3}dx=3\ln A-\frac{1}{3}\ln 2-\frac{1}{8}$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{(8-3x)e^x-8e^{x/2}-x}{4x^2{e}^x(e^x-1)}dx=3\ln A-\frac{7}{12}\ln 2+\frac{1}{2}\ln \pi -1$

Véase también

• Aproximación de Stirling
• Lista de constantes matemáticas

Enlaces externos

• La constante de Glaisher-Kinkelin hasta 20.000 cifras decimales