Coordenadas cilíndricas parabólicas

Superficies coordinadas de las coordenadas cilíndricas parabólicas. El cilindro parabólico rojo corresponde a σ = 2, mientras el cilindro parabólico amarillo corresponde a τ = 1. El plan azul corresponde la z= 2. Estas superficies se cruzan al punto P (mostrado como una esfera negra), cuyas coordenadas cartesianas son aproximadamente (2, -1,5, 2).

En matemáticas, las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que resultan de la proyección del sistema de coordenadas parabólicas bidimensional en la dirección perpendicular a $z$. Así, las superficies coordenadas son cilindros parabólicos confocales. Las coordenadas cilíndricas parabólicas poseen incontables aplicaciones como, por ejemplo, en la teoría potencial de las aristas.

Definición básica

Sistema de coordenadas parabólicas mostrando las curvas con σ y τ constantes. Los ejes horizontal y vertical son las coordenadas x y y, respectivamente. Tales coordenadas son proyectadas al largo del eje z, y así este diagrama valle para cualquier valor de la coordenada z

Las coordenadas cilíndricas parabólicas Plantilla:Math son definidas en términos de las coordenadas cartesianas Plantilla:Math por:

$\begin{array}{cc}x& =\sigma \tau \\ y& =\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)\\ z& =z\end{array}$

Las superficies con la constante Plantilla:Math forman cilindros parabólicos confocales de ecuaciones

$2y=\frac{x^2}{{\sigma }^2}-{\sigma }^2$

con concavidad vuelta para la dirección Plantilla:Math, mientras que las superficies con constante Plantilla:Math forman cilindros parabólicos confocales de ecuaciones

$2y=-\frac{x^2}{{\tau }^2}+{\tau }^2$

con concavidad vuelta para la dirección opuesta, es decir, en la dirección Plantilla:Math. Los focos de todos estos cilindros parabólicos están localizados al largo de la recta definida por Plantilla:Math. El rayo r tiene una ecuación simple, a saber,

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\frac{1}{2}({\sigma }^2+{\tau }^2)$

que es útil en la resolución de la ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas parabólicas para el problema de la fuerza central inversa al cuadrado de la distancia, de la mecánica. Para más detalles, ver el artículo vector de Laplace-Runge-Lenz.

Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas cilíndricas parabólicas Plantilla:Math y Plantilla:Math son:

$\begin{array}{cc}{h}_{\sigma }& =h_{\tau }=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}\\ h_z& =1\end{array}$

Elementos diferenciales

El elemento infinitesimal de volumen es

$dV=h_{\sigma }{h}_{\tau }{h}_{z}d\sigma d\tau dz=({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau dz$

El desplazamiento diferencial está dado por:

$d𝐥=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\sigma \hat{\mathit{\sigma }}+\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\tau \hat{\mathit{\tau }}+dz\widehat{𝐳}$

El área normal diferencial está dada por:

$d𝐒=\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\tau dz\hat{\mathit{\sigma }}+\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}d\sigma dz\hat{\mathit{\tau }}+({\sigma }^2+{\tau }^2)d\sigma d\tau \widehat{𝐳}$

Nabla

Sea Plantilla:Math un campo escalar. El gradiente está dado por

$\mathrm{\nabla }f=\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial f}{\partial \sigma }\hat{\mathit{\sigma }}+\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial f}{\partial \tau }\hat{\mathit{\tau }}+\frac{\partial f}{\partial z}\widehat{𝐳}$

El laplaciano está dado por

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\sigma }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\tau }^2})+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$

Sea Plantilla:Math un campo vectorial de la forma:

$𝐀=A_{\sigma }\hat{\mathit{\sigma }}+A_{\tau }\hat{\mathit{\tau }}+A_{\phi }\widehat{𝐳}$

La divergencia está dada por

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{\partial (\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}{A}_{\sigma })}{\partial \sigma }+\frac{\partial (\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}{A}_{\tau })}{\partial \tau })+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

El rotacional es dado por

$\mathrm{\nabla }\times 𝐀=(\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial A_z}{\partial \tau }-\frac{\partial A_{\tau }}{\partial z})\hat{\mathit{\sigma }}-(\frac{1}{\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}}\frac{\partial A_z}{\partial \sigma }-\frac{\partial A_{\sigma }}{\partial z})\hat{\mathit{\tau }}+\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}(\frac{\partial \left(\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}{A}_{\sigma }\right)}{\partial \tau }-\frac{\partial \left(\sqrt{{\sigma }^2+{\tau }^2}{A}_{\tau }\right)}{\partial \sigma })\widehat{𝐳}$

Otros operadores diferenciales pueden expresarse en las coordenadas Plantilla:Math sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales encontradas en coordenadas ortogonales.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cilíndricas Plantilla:Math:

$\begin{array}{cc}\rho \cos \phi & =\sigma \tau \\ \rho \sin \phi & =\frac{1}{2}({\tau }^2-{\sigma }^2)\\ z& =z\end{array}$

Los vectores unitarios parabólicos expresados en términos de vectores unitarios cartesianos:

$\begin{array}{cc}\hat{\mathit{\sigma }}& =\frac{\tau \widehat{𝐱}-\sigma \widehat{𝐲}}{\sqrt{{\tau }^2+{\sigma }^2}}\\ \hat{\mathit{\tau }}& =\frac{\sigma \widehat{𝐱}+\tau \widehat{𝐲}}{\sqrt{{\tau }^2+{\sigma }^2}}\\ \widehat{𝐳}& =\widehat{𝐳}\end{array}$

Armónicas del cilindro parabólico

Como todas las superficies de constante Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math son conicoides, La ecuación de Laplace es separable en coordenadas cilíndricas parabólicas. Utilizando la técnica de separación de variables, se puede escribir una solución separada a la ecuación de Laplace:

$V=S(\sigma )T(\tau )Z(z)$

y la ecuación de Laplace, dividida por Plantilla:Math, es escrita:

$\frac{1}{{\sigma }^2+{\tau }^2}[\frac{\ddot{S}}{S}+\frac{\ddot{T}}{T}]+\frac{\ddot{Z}}{Z}=0$

Dado que la ecuación Plantilla:Math está separada del resto, se podría escribir:

$\frac{\ddot{Z}}{Z}=-m^2$

donde Plantilla:Math es la constante. Plantilla:Math tiene la solución:

$Z_m(z)=A_1{e}^{imz}+A_2{e}^{-imz}$

Sustituyendo Plantilla:Math por $\ddot{Z}/Z$, la ecuación de Laplace se podría escribir tal que:

$[\frac{\ddot{S}}{S}+\frac{\ddot{T}}{T}]=m^2({\sigma }^2+{\tau }^2)$

Ahora separamos las funciones Plantilla:Math y Plantilla:Math e introducimos otra constante, Plantilla:Math para obtener:

$\ddot{S}-(m^2{\sigma }^2+n^2)S=0$

$\ddot{T}-(m^2{\tau }^2-n^2)T=0$

Las soluciones a esas ecuaciones son las funciones de cilindro parabólico

$S_{mn}(\sigma )=A_3{y}_1(n^2/2m,\sigma \sqrt{2m})+A_4{y}_2(n^2/2m,\sigma \sqrt{2m})$

$T_{mn}(\tau )=A_5{y}_1(n^2/2m,i\tau \sqrt{2m})+A_6{y}_2(n^2/2m,i\tau \sqrt{2m})$

Los armónicos del cilindro parabólico para Plantilla:Math ahora son el producto de las soluciones. La combinación reducirá la cantidad de constantes y se podrá escribir la solución general a la ecuación de Laplace:

$V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}{A}_{mn}{S}_{mn}{T}_{mn}{Z}_m$

Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas cilíndricas parabólicas se encuentran en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales, como por ejemplo la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz, para las cuales esas coordenadas permiten la utilización de la técnica de criba de las variables. Un ejemplo típico sería el campo eléctrico en torno a una placa plana semi-infinita conductora.

Véase también

• Coordenadas ortogonales
• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas polares
• Coordenadas parabólicas
• Coordenadas bipolares
• Coordenadas hiperbólicas
• Coordenadas elípticas
• Coordenadas cilíndricas
• Coordenadas esféricas

Referencias

• Este artículo fue inicialmente traducido del artículo de la Wikipédia en inglés, cuyo título es Parabolic cylindrical coordinates, específicamente de esta versión.

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro, Murphy GM (1956)
• Korn GA, Korn TM (1961). Plantilla:Cita libro
• Sauer R, Szabó I (1967). Plantilla:Cita libro
• Zwillinger D (1992). Plantilla:Cita libro Same las Morse & Feshbach (1953), substituting uk sea ξk.
• Moon P, Spencer DE (1988). Plantilla:Cita libro

Enlaces externos

• Descripción del MathWorld para las coordenadas cilíndricas parabólicas Plantilla:En.