Cuadrilátero cíclico

Ejemplos de cuadriláteros cíclicos

En geometría euclídea, un cuadrilátero cíclico o cuadrilátero inscrito es un polígono de cuatro lados cuyos vértices se encuentran sobre la misma circunferencia, denominada circunferencia circunscrita. Se dice que sus vértices son puntos cocíclicos, y el centro del círculo y su radio se denominan circuncentro y circunradio respectivamente.

Otros nombres utilizados para denominar estas figuras son cuadrilátero concíclico y cuadrilátero cordal, este último debido a que los lados del cuadrilátero son cuerdas de la circunferencia circunscrita. Por lo general, se supone que el cuadrilátero es convexo, pero también hay cuadriláteros cíclicos cruzados. Las fórmulas y propiedades dadas a continuación son válidas para el caso convexo.

La palabra cíclico tiene su origen en el griego antiguo Plantilla:Lang (kuklos) que significa "círculo" o "rueda".

Todos los triángulos poseen una circunferencia circunscrita, pero no así todos los cuadriláteros. Un ejemplo de un cuadrilátero que no puede ser cíclico es un rombo que no sea un cuadrado. En la sección caracterizaciones que figura a continuación se establece qué condición necesaria y suficiente debe satisfacer un cuadrilátero para estar inscrito en una circunferencia.

Casos especiales

Cualquier cuadrado, rectángulo, trapecio isósceles o antiparalelogramo es cíclico. Un deltoide es cíclico si y solo si posee dos ángulos rectos. Un cuadrilátero bicéntrico es un cuadrilátero cíclico que también es tangencial y un cuadrilátero ex-bicéntrico es un cuadrilátero cíclico que también es ex-tangencial. Un cuadrilátero armónico es un cuadrilátero cíclico en el que los productos de las longitudes de los lados opuestos son iguales.

Caracterizaciones

Cuadrilátero cíclico ABCD

Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si sus cuatro mediatrices son concurrentes en un mismo punto. Este punto común es precisamente el circuncentro.

Un cuadrilátero convexo Plantilla:Math es cíclico si y solo si sus ángulos opuestos son suplementarios, es decir:

$\alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi (=180^{\circ }).$

El teorema directo fue la Proposición 22 en el Libro 3 de los Elementos de Euclides. De manera equivalente, un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si cada ángulo interior es igual al ángulo interior opuesto.

Otra condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero convexo Plantilla:Math sea cíclico es que un ángulo entre un lado y una diagonal sea igual al ángulo entre el lado opuesto y la otra diagonal. Es decir, por ejemplo,

$\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ADB.$

Otras condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero convexo Plantilla:Math sea cíclico son:

• Que Plantilla:Math sea el punto de intersección de las diagonales
• Que Plantilla:Math sea el punto de intersección de las extensiones de los lados Plantilla:Math y Plantilla:Math
• Que $\omega$ sea un círculo cuyo diámetro sea el segmento Plantilla:Math, y tal que Plantilla:Math y Plantilla:Math sean puntos de Pascal en los lados Plantilla:Math y Plantilla:Math formados por el círculo $\omega$
• Plantilla:Math es un cuadrilátero cíclico si y solo si los puntos Plantilla:Math y Plantilla:Math son colineales con el centro Plantilla:Math del círculo $\omega$
• Plantilla:Math es un cuadrilátero cíclico si y solo si los puntos Plantilla:Math y Plantilla:Math son los puntos medios de los lados Plantilla:Math y Plantilla:Math

ABCD es un cuadrilátero cíclico. E es el punto de intersección de las diagonales y F es el punto de intersección de las extensiones de los lados BC y AD. $\omega$ es un círculo cuyo diámetro es el segmento EF. P y Q son los puntos de Pascal formados por el círculo $\omega$

El teorema de Ptolomeo expresa el producto de las longitudes de las dos diagonales Plantilla:Math y Plantilla:Math de un cuadrilátero cíclico como igual a la suma de los productos de lados opuestos:Plantilla:Rp

$ef=ac+bd.$

La proposición recíproca también es cierta. Es decir, si esta ecuación se satisface en un cuadrilátero convexo, entonces se trata de un cuadrilátero cíclico.

En un cuadrilátero convexo Plantilla:Math, tal que Plantilla:Math sea el triángulo diagonal de Plantilla:Math; sea entonces $\omega$ la circunferencia de los nueve puntos de Plantilla:Math. Plantilla:Math es cíclico si y solo si el punto de intersección de las bimedianas de Plantilla:Math pertenece al círculo de los nueve puntos de $\omega$.

ABCD es un cuadrilátero cíclico. EFG es un triángulo diagonal de ABCD. El punto T de intersección de las bimedianas de ABCD pertenece al círculo de los nueve puntos de EFG

Si dos líneas rectas, una que contiene el segmento Plantilla:Math y la otra que contiene el segmento Plantilla:Math, se cruzan en Plantilla:Math, entonces los cuatro puntos Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math son concíclicos si y solo si

$AP\cdot PC=BP\cdot PD.$

La intersección Plantilla:Math puede ser interna o externa al círculo. En el primer caso, el cuadrilátero cíclico es Plantilla:Math, y en el segundo caso, el cuadrilátero cíclico es Plantilla:Math. Cuando la intersección es interna, la igualdad establece que el producto de la longitud del segmento en el que Plantilla:Math divide una diagonal es igual al de la otra diagonal. Esto se conoce como el teorema de las cuerdas secantes, ya que las diagonales del cuadrilátero cíclico son cuerdas de la circunferencia circunscrita.

Otra caracterización más es que un cuadrilátero convexo Plantilla:Math es cíclico si y solo si

$\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\gamma }{2}=\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\delta }{2}=1.$

Área

Cuadrilátero cíclico o cuadrilátero inscrito.

El área Plantilla:Math de un cuadrilátero cíclico con lados Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math viene dada por la fórmula de BrahmaguptaPlantilla:Rp

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

donde Plantilla:Math es el semiperímetro del cuadrilátero (Plantilla:Math). Este es un corolario de la fórmula de Bretschneider para el cuadrilátero general, ya que los ángulos opuestos son suplementarios en el caso cíclico. Si también Plantilla:Math, el cuadrilátero cíclico se convierte en un triángulo y la fórmula se reduce a la fórmula de Herón.

El cuadrilátero cíclico tiene el área máxima entre todos los cuadriláteros que poseen la misma secuencia de longitudes laterales. Este es otro corolario de la fórmula de Bretschneider. También se puede probar usando cálculo infinitesimal.

Cuatro longitudes desiguales, cada una menor que la suma de las otras tres, son los lados de cada uno de los tres cuadriláteros cíclicos no congruentes, que, según la fórmula de Brahmagupta, tienen la misma área. Específicamente, para los lados Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math, el lado Plantilla:Math podría estar opuesto a cualquiera de los lados Plantilla:Math, Plantilla:Math o Plantilla:Math.

El área de un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math y ángulo Plantilla:Math entre los lados Plantilla:Math y Plantilla:Math se puede expresar comoPlantilla:Rp

$K=\frac{1}{2}(ab+cd)\sin B$

oPlantilla:Rp

$K=\frac{1}{2}(ac+bd)\sin \theta$

donde Plantilla:Math es cualquier ángulo entre las diagonales. Siempre que Plantilla:Math no sea un ángulo recto, el área también se puede expresar comoPlantilla:Rp

$K=\frac{1}{4}(a^2-b^2-c^2+d^2)\tan A.$

Otra fórmula esPlantilla:Rp

$K=2R^2\sin A\sin B\sin \theta$

donde Plantilla:Math es el radio de la circunferencia circunscrita. Como consecuencia directa,

$K\le 2R^2$

donde se verifica la igualdad si y solo si el cuadrilátero es un cuadrado.

Diagonales

En un cuadrilátero cíclico con vértices sucesivos Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math; y lados Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math, las longitudes de las diagonales Plantilla:Math y Plantilla:Math se pueden expresar en términos de los lados como Plantilla:Rp Plantilla:Rp

$p=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}$ y $q=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}$

mostrando el Teorema de Ptolomeo

$pq=ac+bd.$

Según el "segundo teorema de Ptolomeo",Plantilla:Rp

$\frac{p}{q}=\frac{ad+bc}{ab+cd}$

usando la misma notación que arriba.

Para la suma de las diagonales se tiene la desigualdadPlantilla:Rp

$p+q\ge 2\sqrt{ac+bd}.$

La igualdad se produce si y solo si las diagonales tienen la misma longitud, lo que se puede probar mediante la desigualdad de las medias aritmética y geométrica.

Por otra parte,Plantilla:Rp

$(p+q{)}^2\le (a+c{)}^2+(b+d{)}^2.$

En cualquier cuadrilátero convexo, las dos diagonales dividen el cuadrilátero en cuatro triángulos; En un cuadrilátero cíclico, los pares opuestos de estos cuatro triángulos son semejantes entre sí.

Si Plantilla:Math y Plantilla:Math son los puntos medios de las diagonales Plantilla:Math y Plantilla:Math, entonces

$\frac{MN}{EF}=\frac{1}{2}|\frac{AC}{BD}-\frac{BD}{AC}|$

donde Plantilla:Math y Plantilla:Math son los puntos de intersección de las extensiones de lados opuestos.

Si Plantilla:Math es un cuadrilátero cíclico donde Plantilla:Math se encuentra con Plantilla:Math en Plantilla:Math, entonces

$\frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}\cdot \frac{AD}{CD}.$

Un conjunto de lados que pueden formar un cuadrilátero cíclico se puede organizar en cualquiera de las tres secuencias distintas, cada una de las cuales puede formar un cuadrilátero cíclico de la misma área en el mismo círculo (las áreas son las mismas de acuerdo con la fórmula del área de Brahmagupta). Cualquiera de estos dos cuadriláteros cíclicos tienen una longitud diagonal en común.Plantilla:Rp

Fórmulas angulares

Para un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math; semiperímetro Plantilla:Math; y ángulo Plantilla:Math entre los lados Plantilla:Math y Plantilla:Math, las funciones trigonométricas de Plantilla:Math están dadas por

$\cos A=\frac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)},$

$\sin A=\frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{(ad+bc)},$

$\tan \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}.$

El ángulo Plantilla:Math entre las diagonales satisface quePlantilla:Rp

$\tan \frac{\theta }{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}.$

Si las extensiones de los lados opuestos Plantilla:Math y Plantilla:Math se cruzan en un ángulo Plantilla:Math, entonces

$\cos \frac{\phi }{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)(b+d{)}^2}{(ab+cd)(ad+bc)}}$

donde Plantilla:Math es el semiperímetro.Plantilla:Rp

Fórmula del circunradio de Paramésuara

Un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math; y con semiperímetro Plantilla:Math; tiene el circunradio (el radio del circuncírculo) dado por

$R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.$

Esta fórmula fue deducida por el matemático indio Vatasseri Paramésuara en el Plantilla:Siglo.

Usando la fórmula de Brahmagupta, la fórmula de Parameshvara se puede reescribir como

$4KR=\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}$

donde Plantilla:Math es el área del cuadrilátero cíclico.

Anticentro y colinealidades

Los cuatro segmentos rectilíneos, cada uno perpendicular a un lado de un cuadrilátero cíclico y pasando por el punto medio del lado opuesto, son concurrentes.Plantilla:Rp Estos segmentos de línea se denominan m-alturas, que es la abreviatura de la altura del punto medio. El punto común se llama el "anticentro". Tiene la propiedad de ser el reflejo del centro de la circunferencia circunscrita respecto al "centroide de vértices". Así, en un cuadrilátero cíclico, el circuncentro, el "centroide de vértices" y el anticentro son colineales.

Si las diagonales de un cuadrilátero cíclico se cruzan en Plantilla:Math, y los puntos medios de las diagonales son Plantilla:Math y Plantilla:Math, entonces el anticentro del cuadrilátero es el ortocentro del triángulo Plantilla:Math.

Otras propiedades

Teorema japonés

• En un cuadrilátero cíclico Plantilla:Math, los incentros M₁, M₂, M₃ y M₄ (véase la figura de la derecha) de los triángulos Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math; son los vértices de un rectángulo. Este es uno de los teoremas conocidos como teorema japonés. Los ortocentros de los mismos cuatro triángulos son los vértices de un cuadrilátero congruent a Plantilla:Math, y los centroides en esos cuatro triángulos son los vértices de otro cuadrilátero cíclico.
• En un cuadrilátero cíclico Plantilla:Math con circuncentro Plantilla:Math, sea Plantilla:Math el punto donde se cruzan las diagonales Plantilla:Math y Plantilla:Math. Entonces, el ángulo Plantilla:Math es la media aritmética de los ángulos Plantilla:Math y Plantilla:Math. Esta es una consecuencia directa del ángulo inscrito y del teorema del ángulo exterior.
• No hay cuadriláteros cíclicos con área racional y con lados racionales desiguales en progresión aritmética o en progresión geométrica.

• Si un cuadrilátero cíclico tiene longitudes laterales que forman una progresión aritmética, el cuadrilátero también es ex-bicéntrico.
• Si los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico se extienden para encontrarse en Plantilla:Math y Plantilla:Math, entonces las bisectrices internas de los ángulos en Plantilla:Math y Plantilla:Math son perpendiculares.

Cuadriláteros de Brahmagupta

Un cuadrilátero de Brahmagupta es un cuadrilátero cíclico con lados enteros, diagonales enteras y área entera. Todos los cuadriláteros de Brahmagupta con lados Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math; diagonales Plantilla:Math y Plantilla:Math; área Plantilla:Math y circunradio Plantilla:Math; pueden obtenerse por despeje de denominadores a partir de las siguientes expresiones que involucran parámetros racionales Plantilla:Math, Plantilla:Math y Plantilla:Math:

$a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]$

$b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$

$c=t(1+u^2)(1+v^2)$

$d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$

$e=u(1+t^2)(1+v^2)$

$f=v(1+t^2)(1+u^2)$

$K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^2)][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^2)]$

$4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Marco ortodiagonal

Circunradio y área

Para un cuadrilátero cíclico que también es ortodiagonal (tiene diagonales perpendiculares), supóngase que la intersección de las diagonales divide una diagonal en segmentos de longitudes Plantilla:Math y Plantilla:Math y divide la otra diagonal en segmentos de longitudes Plantilla:Math y Plantilla:Math. Luego (la primera igualdad es la Proposición 11 en el Libro de los Lemas de Arquímedes)

$D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2$

donde Plantilla:Math es el diámetro de la circunferencia circunscrita. Esto se cumple porque las diagonales son cuerdas de la circunferencia perpendiculares entre sí. Estas ecuaciones implican que el circunradio Plantilla:Math se puede expresar como

$R=\frac{1}{2}\sqrt{p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2}$

o, en términos de los lados del cuadrilátero, como

$R=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+d^2}.$

También se deduce que

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

Por lo tanto, de acuerdo con el teorema del cuadrilátero de Euler, el circunradio se puede expresar en términos de las diagonales Plantilla:Math y Plantilla:Math, y de la distancia Plantilla:Math entre los puntos medios de las diagonales como

$R=\sqrt{\frac{p^2+q^2+4x^2}{8}}.$

Una fórmula para el área Plantilla:Math de un cuadrilátero ortodiagonal cíclico en términos de los cuatro lados se obtiene directamente al combinar el teorema de Ptolomeo y la fórmula para el área de un cuadrilátero ortodiagonal. El resultado esPlantilla:Rp

$K=\frac{1}{2}(ac+bd).$

Otras propiedades

• En un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, el anticentro coincide con el punto donde se cruzan las diagonales.
• El teorema de Brahmagupta establece que para un cuadrilátero cíclico que también es ortodiagonal, la perpendicular desde cualquier lado a través del punto de intersección de las diagonales divide el lado opuesto.
• Si un cuadrilátero cíclico también es ortodiagonal, la distancia desde la circunferencia circunscrita a cualquier lado es igual a la mitad de la longitud del lado opuesto.
• En un cuadrilátero ortodiagonal cíclico, la distancia entre los puntos medios de las diagonales es igual a la distancia entre el circuncentro y el punto donde se cruzan las diagonales.

Cuadriláteros esféricos cíclicos

En geometría esférica, un cuadrilátero esférico formado a partir de cuatro círculos máximos que se cruzan es cíclico si y solo si las sumas de los ángulos opuestos son iguales, es decir, α + γ = β + δ para ángulos consecutivos α, β, γ y δ del cuadrilátero. I. A. Lexell comprobó en 1786 este teorema en un sentido demostrando que en un cuadrilátero esférico inscrito en una circunferencia no máxima de una esfera, las sumas de ángulos opuestos son iguales, y que en el cuadrilátero circunscrito las sumas de lados opuestos son iguales. El primero de estos teoremas es el análogo esférico de un teorema del plano, y el segundo es su dual, es decir, el resultado de utilizar círculos máximos y sus polos. Kiper et al. demostraron el teorema recíproco: si las sumas de los lados opuestos son iguales en un cuadrilátero esférico, entonces existe una circunferencia circunscrita para este cuadrilátero.

Véase también

• Polígono cíclico
• Puntos cocíclicos
• Teorema de la mariposa
• Polígono cíclico
• Potencia de un punto
• Tabla de cuerdas de Ptolomeo
• Pentágono de Robbins
• Naraian Pandit (matemático indio, 1340-1400)

Lecturas relacionadas

• D. Fraivert: Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• Derivación de fórmula para el área del cuadrilátero cíclico
• Incenters in Cyclic Quadrilateral en alexander Bogomolny
• Cuatro líneas concurrentes en un cuadrilátero cíclico en alexander Bogomolny
• Centro de Euler y m-alturas de un cuadrilátero cíclico en Bocetos de geometría dinámica, bocetos interactivos de geometría dinámica.