Cuantificador universal

En lógica, se usa el símbolo $\mathrm{\forall }$, denominado cuantificador universal, antepuesto a una variable para decir que "para todo" elemento de un cierto conjunto se cumple la proposición dada a continuación.

$\mathrm{\forall }x\in B$

Ejemplo

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B:

$A\subset B\wedge A\ne B\wedge A\ne \varnothing$

Todo elemento x de A pertenece a B:

$\mathrm{\forall }x\in A\Rightarrow x\in B$

Al ser A y B conjuntos diferentes como indica el diagrama, podemos decir que no todos los elementos y de B pertenecen a A, siendo esto una garantía suficiente para que dos conjuntos cualesquiera puedan ser diferentes:

$\mathrm{\neg }\mathrm{\forall }y\in B:y\in A$

Es decir: no para todo elemento y de B se cumple que y también pertenezca a A.

Relación cuantificador universal y el cuantificador existencial

Dada una expresión P(x), según el cuantificador universal se puede transformar en otra equivalente con el cuantificador existencial:

$\mathrm{\forall }xP(x)\iff \mathrm{\neg }\mathrm{\exists }x\mathrm{\neg }P(x)$

que podríamos leer: si para todo x se cumple P(x) no existe un x que no cumpla P(x).

Según el ejemplo anterior:

$\mathrm{\forall }x\in A:x\in B$

Para todo x que pertenece a A, se cumple que x pertenece a B. Que podemos expresar:

$\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }x\in A:x\notin B$

No existe un x de A, que cumpla que x no esté en B.

Véase también

• cuantificador existencial
• lógica de primer orden