Desigualdad de Bessel

En matemáticas, especialmente en análisis funcional, la desigualdad de Bessel es una proposición acerca de los coeficientes de un elemento $x$ en un espacio de Hilbert con respecto a una secuencia ortonormal.

En espacios de Hilbert

Sea $H$ un espacio de Hilbert, suponga que $e_1,e_2,...$ es una secuencia ortonormal en $H$. Entonces, para todo $x$ en $H$ se tiene que

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|⟨x,e_k⟩\right|}^2\le {\Vert x\Vert }^2$

donde <·,·> denota el producto interno en el espacio de Hilbert $H$, Si nosotros definimos la suma infinita

$x^{\prime }=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}⟨x,e_k⟩e_k,$

La desigualdad de Bessel nos dice que esta serie matemática converge.

Para una secuencia ortonormal completa (esto es, para una secuencia ortonormal que a la vez es una base ortonormal de $H$), nosotros tenemos la identidad de Parseval, que reemplaza la desigualdad por una igualdad (y consecuentemente $x^{\prime }$ con $x$).

En álgebra lineal

En Álgebra lineal la Desigualdad de Bessel estipula que dado un espacio vectorial V con producto interno $⟨,⟩$ definido, y dada $\beta =\{{\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n\}$ un subconjunto ortonormal de V, se cumple para todo x en V:

La desigualdad proviene en realidad de una identidad, válida para toda base ortonormal. Como todo conjunto ortonormal de vectores es linealmente independiente, entonces debe existir un número finito de vectores con los cuales puede completarse β hasta obtener un sistema generador de V. Sean Plantilla:Ecuación estos m – n vectores ortonormales faltantes, donde m ≥ n. El conjunto que resulta de agregar dichos vectores a β, es decir

Plantilla:Ecuación es una base de V. Bajo estas condiciones puede demostrarse la siguiente identidad:

Hay dos casos posibles:

• el conjunto β dado puede ser en sí mismo una base ortonormal, en cuyo caso la desigualdad de Bessel pasa ser una identidad, pues m = n.
• Si β no es una base, entonces el conjunto Plantilla:Eqnref, con m > n, sí lo es. Intuitivamente puede pensarse que se «quitan» elementos de la sumatoria Plantilla:Eqnref para considerar únicamente en ella los elementos del subconjunto β de la base ortonormal Plantilla:Eqnref. Como esta sumatoria es positiva y el cuadrado de la norma de x es igual a la sumatoria completa, es decir, con todos los elementos de 1 a m, quitar un elemento implica disminuir esta sumatoria. Por lo tanto, la norma del vector x debe superar esta nueva sumatoria, a la cual le faltan m – n términos con respecto a Plantilla:Eqnref. De ahí que Plantilla:Eqnref sea válida.

Véase también

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld