Identidad de Parseval

En álgebra, la identidad de Parseval, también conocida como la igualdad de Parseval, es una generalización del teorema de Pitágoras aplicado a los espacios de Hilbert separables. Si B es una base ortonormal en un espacio vectorial producto interno de dimensión finita $q$, entonces

$\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩=\sum _{i=1}^q{|⟨v_i,x⟩|}^2$

El nombre procede de la relación de Parseval para las series de Fourier, que es un caso especial.

La identidad de Parseval se puede demostrar mediante el teorema de Riesz-Fischer.

Demostración

Sea $B=\{v_1,v_2,...,v_q\}$ una base ortogonal de un espacio producto interno ${\mathrm{V}}_{𝕂}$ de cuerpo $𝕂$, $(𝕂=ℝ$ o $𝕂=ℂ)$

Se demuestra que $\mathrm{\forall }x\in {\mathrm{V}}_{𝕂}$:

$x=\sum _{i=1}^q{\alpha }_i{v}_i$

entonces ${\alpha }_i=\frac{⟨x,v_i⟩}{||v_i|{|}^2}$ , con $i=1,2,...,q$

donde ${\alpha }_i$ son las coordenadas en base $B$ del vector $x$. Entonces

$x=\sum _{i=1}^q\frac{⟨x,v_i⟩}{||v_i|{|}^2}{v}_i$

Si la base $B$ es ortonormal, $||v_i||=1$, entonces resulta:

$x\doteq \sum _{i=1}^q⟨x,v_i⟩v_i$

Para este caso, puede calcularse:

$\begin{array}{cc}||x|{|}^2& =⟨x,x⟩\\ & =⟨\sum _{i=1}^q⟨x,v_i⟩v_i,\sum _{i=1}^q⟨x,v_i⟩v_i⟩\\ & =⟨⟨v_1,x⟩v_1,⟨v_1,x⟩v_1⟩+⟨⟨v_2,x⟩v_2,⟨v_2,x⟩v_2⟩+\cdots +⟨⟨v_q,x⟩v_q,⟨v_q,x⟩v_q⟩\end{array}$

Por dos de los axiomas del producto interno, $(x,zy)=\overline{z}(x,y)$, con $z\in 𝕂$ y $(x,y)=\overline{(y,x)}$

resulta $(z^{\prime }x,zy)=\overline{z^{\prime }\overline{z}(y,x)}=z\overline{z^{\prime }}\overline{(y,x)}$ con $z$ y $z^{\prime }\in 𝕂$ , entonces:

$||x|{|}^2=(\overline{(v_1,x)}(v_1,x)(v_1,v_1))+(\overline{(v_2,x)}(v_2,x)(v_2,v_2))+...+(\overline{(v_q,x)}(v_q,x)(v_q,v_q))$

Como $(v_i,v_i)=||v_i|{|}^2$, y la base $B$ es ortonormal $\Rightarrow ||v_i||=1$.

Además, usando la propiedad de los número complejos, $z\cdot \overline{z}=|z{|}^2$, con $z\in 𝕂$ entonces:

$||x|{|}^2=|(v_1,x){|}^2+|(v_2,x){|}^2+\cdots +|(v_q,x){|}^2$

quedando entonces la expresión

$\Vert x{\Vert }^2=\sum _{i=1}^q{|(v_i,x)|}^2$

Relación con series de Fourier

Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de Fourier, tanto en forma compleja como real.

Forma compleja (o exponencial):

$\frac{1}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}{|f(x)|}^2\mathrm{d}x=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2$

Forma real (o trigonométrica):

$\frac{2}{T}\underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}{|f(x)|}^2\mathrm{d}x=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)$

Siendo $T$ el periodo y $c_n$, $a_n$, $b_n$ los coeficientes de Fourier complejos y reales respectivamente. (Aquí se utiliza la convención de que $a_0=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(x)\mathrm{d}x$, en otro caso el coeficiente de $a_0^2$ será diferente).

Véase también

• Serie de Fourier
• Desigualdad de Bessel

Referencias

• Johnson & Riess; Numerical Analysis. ISBN 0-201-10392-3.; apuntes teóricos personales de Álgebra II - Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires, Argentina