Desigualdad de Nesbitt

En matemáticas, la desigualdad de Nesbitt es un caso especial de la desigualdad de Shapiro. Ésta declara que para los números reales positivos a, b y c se obtiene que:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}.$

Demostración

Partiendo de la misma desigualdad de Nesbitt

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$

se puede transformar el miembro izquierdo de la desigualdad como:

$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}-3\ge \frac{3}{2}.$

Ahora esto puede ser transformado como:

$((a+b)+(a+c)+(b+c))(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c})\ge 9.$

dividiendo por 3 y pasando el segundo factor al miembro derecho:

$\frac{(a+b)+(a+c)+(b+c)}{3}\ge \frac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}}.$

De esta manera en el miembro izquierdo de la inecuación queda la media aritmética de los tres números y en el miembro derecho la media armónica, verificando que la desigualdad es cierta.

Enlaces externos

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