Distribución gamma

Función de Densidad de una Gamma.

En teoría de probabilidad y Estadística, la distribución gamma es una distribución con dos parámetros que pertenece a las distribuciones de probabilidad continuas. La distribución exponencial, distribución de Erlang y la distribución χ² son casos particulares de la distribución gamma. Hay dos diferentes parametrizaciones que suelen usarse

1. Con parámetro de forma $k$ y parámetro de escala $\theta$.
2. Con parámetro de forma $\alpha =k$ y parámetro inverso de escala $\lambda =1/\theta$.

Definición

Notación

Si una variable aleatoria continua $X$ tiene distribución gamma con parámetros $\alpha >0$ y $\lambda >0$ entonces escribiremos $X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\lambda )$.

Función de Densidad

Si $X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\lambda )$ entonces su función de densidad es

$f_X(x)=\frac{\lambda }{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}(\lambda x{)}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}$

para $x>0$ donde

$\mathrm{\Gamma }(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt$

es la función gamma y satisface

1. $\mathrm{\Gamma }(2)=\mathrm{\Gamma }(1)=1$
2. Para cualquier $\alpha >0$ se cumple que $\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)=\alpha \mathrm{\Gamma }(\alpha )$
3. Si $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ entonces $\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$
4. $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$
5. Si $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ entonces $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi }(n-1)!}{2^{n-1}\left(\frac{n-1}{2}\right)!}$

Función de Distribución Acumulada

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria $X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\lambda )$ está dada por

$F_X(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\lambda }{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}(\lambda y{)}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda y}dy$

Si $X$ es una variable aleatoria tal que $X\sim \mathrm{\Gamma }(n,\lambda )$ donde $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ (es decir, $X$ tiene una distribución de Erlang) entonces su función de distribución acumulada está dada por

$\begin{array}{cc}{F}_X(x)& =1-\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(\lambda x{)}^k}{k!}{e}^{-\lambda x}\\ & =\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\lambda x{)}^k}{k!}{e}^{-\lambda x}\end{array}$

Propiedades

Si $X$ es una variable aleatoria tal que $X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\lambda )$ entonces $X$ satisface algunas propiedades.

Media

La media de la variable aleatoria $X$ es:

$\text{E}[X]=\alpha /\lambda$

Varianza

La varianza de la variable aleatoria $X$ es

$\text{Var}[X]=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$

Momentos

El $n$-ésimo momento de la variable aleatoria $X$ es

$\mathrm{E}[X^n]=\frac{\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}{{\lambda }^n}$

para $n\in \mathbb{N}$.

Función generadora de momentos

La función generadora de momentos está dada por

$M_X(t)={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^{\alpha }$

para $\lambda >t$.

Suma de Gammas

Si $X_i\sim \mathrm{\Gamma }({\alpha }_i,\lambda )$ para $i=1,2,\dots ,n$ son variables aleatorias independientes entonces

$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \mathrm{\Gamma }(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i,\lambda )$

Escalar

Si $X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\lambda )$ entonces para cualquier $c>0$

$cX\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\lambda /c)$

Media Logarítmica

Puede demostrarse que

$\mathrm{E}[\ln (X)]=\psi (\alpha )-\ln (\lambda )$

donde $\psi$ es la función digamma.

Cálculo de Probabilidades en R

Se puede utilizar R (lenguaje de programación) para hallar los valores de la función de densidad $f(x)$ y la función de distribución $F(x)$ de una variable aleatoria continua $X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\lambda )$.

Función de densidad

Para $x>0$, la función de densidad de la distribución Gamma está dada por

$f_X(x)=\frac{\lambda }{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}(\lambda x{)}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}$

entonces para evaluar la función de densidad

$f_X(x)$

utilizamos el siguiente código

# d=density function
dgamma(x,α,λ)

Función de Distribución

La función de distribución acumulada de la distribución Gamma está dada por

$F_X(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\lambda }{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}(\lambda y{)}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda y}dy$

para $x>0$, se puede utilizar el siguiente código para evaluar al función de distribución acumulada $F_X(x)$

# p=probability distribution function
pgamma(x,α,λ)

Distribuciones Relacionadas

• Si $X_1,X_2,\dots ,X_n$ son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tales que $X_i\sim \text{Exp}(\lambda )$ entonces $\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \mathrm{\Gamma }(n,\lambda )$, a esta distribución se le conoce como distribución de Erlang y es un caso particular de la distribución gama cuando el parámetro $\alpha =n\in \mathbb{N}$.

• Si $X\sim \mathrm{\Gamma }(1,\lambda )$ entonces $X\sim \text{Exp}(\lambda )$.
• Si $X\sim \mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$ con $n\in \mathbb{N}$ entonces $X\sim {\chi }_n^2$.

Véase también

• Distribución Exponencial
• Distribución Beta
• Distribución de Erlang
• Distribución χ²

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld
• [1] Plantilla:Wayback Calcular la probabilidad de una distribución Gamma con R (lenguaje de programación)