Distribución beta

En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución beta es una familia de distribuciones continuas de probabilidad definidas en el intervalo $(0,1)$ parametrizada por dos parámetros positivos de forma, denotados por $\alpha$ y $\beta$, que aparecen como exponentes de la variable aleatoria y controlan la forma de la distribución.

La generalización de esta distribución a varias variables es conocida como la distribución de Dirichlet.

Definición

Notación

Si una variable aleatoria continua $X$ tiene una distribución beta con parámetros $\alpha ,\beta >0$ entonces escribiremos $X\sim \mathrm{B}(\alpha ,\beta )$.

Otras notaciones para la distribución beta usadas son $X\sim \mathrm{Beta}(\alpha ,\beta )$, $X\sim ℬℯ(\alpha ,\beta )$ o $X\sim {\beta }_{\alpha ,\beta }$.

Función de densidad

La función de densidad de $X$ es

$f_X(x)=\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}$

para valores $0<x<1$ donde $\mathrm{B}(\alpha ,\beta )$ es la función beta y se define para $\alpha ,\beta >0$ como

$\mathrm{B}(\alpha ,\beta )=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}dx$

y algunas de las propiedades que satisface son:

1. $\mathrm{B}(\alpha ,\beta )=\mathrm{B}(\beta ,\alpha )$
2. $\mathrm{B}(\alpha ,\beta )=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}$

Función de distribución

La función de distribución de $X$ es

$F_X(x)=\frac{\mathrm{B}(x;\alpha ,\beta )}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}=I_x(\alpha ,\beta )$

donde $\mathrm{B}(x;\alpha ,\beta )$ es la función beta incompleta y $I_x(\alpha ,\beta )$ es la función beta incompleta regularizada.

Propiedades

Si $X\sim \mathrm{B}(\alpha ,\beta )$ entonces la variable aleatoria $X$ satisface algunas propiedades.

Media

La media de la variable aleatoria $X$ es

$\text{E}[X]=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$

Varianza

La varianza de la variable aleatoria $X$ es

$\text{Var}(X)=\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta +1)(\alpha +\beta {)}^2}$.

Moda

La moda de la variable aleatoria $X$ es

$\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}$

para valores de $\alpha ,\beta >1$.

Momentos

El $n$-ésimo momento de $X$ es

$\begin{array}{cc}\text{E}[X^n]& =\frac{\mathrm{B}(\alpha +n,\beta )}{\mathrm{B}(\alpha +\beta )}\\ & =\prod _{r=0}^{n-1}\frac{\alpha +r}{\alpha +\beta +r}\\ & =\frac{\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)\cdots (\alpha +\beta +n-1)}\end{array}$

para $n\in \mathbb{N}$.

Función generadora de momentos

La función generador de momentos de la variable aleatoria $X$ está dada por

$\begin{array}{cc}{M}_X(t)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}\frac{\mathrm{B}(\alpha +n,\beta )}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}\\ & =1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\prod _{r=0}^{n-1}\frac{\alpha +r}{\alpha +\beta +r}\right)\frac{t^n}{n!}\end{array}$

Media geométrica

El logaritmo de la media geométrica $G_X$ de una distribución con variable aleatoria $X$ es la media aritmética de $\ln (X)$ o equivalentemente, su valor esperado:

$\ln G_X=\mathrm{E}[\ln X]$

Para una distribución beta:

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[\ln X]& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln x{f}_X(x)dx\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln x\frac{x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}dx\\ & =\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\partial x^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}}{\partial \alpha }dx\\ & =\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}\frac{\partial }{\partial \alpha }\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}dx\\ & =\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha ,\beta )}\frac{\partial \mathrm{B}(\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }\\ & =\frac{\partial \ln \mathrm{B}(\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }\\ & =\frac{\partial \ln \mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\partial \alpha }-\frac{\partial \ln \mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\partial \alpha }\\ & =\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\end{array}$

donde $\psi$ es la función digamma.

Distribuciones relacionadas

Transformaciones

• Si $X\sim \mathrm{B}(\alpha ,\beta )$ entonces $1-X\sim \mathrm{B}(\beta ,\alpha )$.
• Si $X\sim \mathrm{B}(\alpha ,\beta )$ entonces $\frac{X}{1-X}\sim {\beta }^{\prime }(\alpha ,\beta )$, la distribución beta de segundo orden.
• Si $X\sim \mathrm{B}(\frac{n}{2},\frac{m}{2})$ entonces $\frac{mX}{n(1-X)}\sim F_{n,m}$.
• Si $X\sim \mathrm{B}(\alpha ,1)$ entonces $-\ln (X)\sim \mathrm{Exponencial}(\alpha )$.

Casos particulares

• Si $X\sim \mathrm{B}(1,1)$ entonces $X\sim \mathrm{U}(0,1)$.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\mathrm{B}(1,n)=\mathrm{Exponencial}(1)$.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\mathrm{B}(k,n)=\mathrm{\Gamma }(k,1)$.
• Un caso partícular de la Distribución Beta es la Distribución PERT que toma tres parámetros: Optimista, más frecuente y pesimista.

Véase también

• Función beta
• Distribución gamma
• Distribución PERT
• PERT

Animación de la función de densidad de la distribución Beta para diferentes valores de sus parámetros

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