Espacio semirreflexivo

En el área de las matemáticas conocida como análisis funcional, un espacio semirreflexivo es un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo X tal que la aplicación de evaluación canónica de X a su bidual (que es el espacio dual fuerte del dual fuerte de X) es biyectiva. Si esta aplicación es también un isomorfismo del EVT, entonces se llama reflexiva.

Los espacios semirreflexivos juegan un papel importante en la teoría general de los EVTs localmente convexos. Dado que un EVT normable es semirreflexivo si y solo si es reflexivo, el concepto de semirreflexividad se utiliza principalmente con EVTs que no son normables.

Definición y notación

Definición breve

Supóngase que Plantilla:Mvar es un espacio vectorial topológico (EVT) sobre el cuerpo $𝔽$ (que son los números reales o complejos) cuyo espacio dual, $X^{\prime }$, separa puntos en Plantilla:Mvar (es decir, para cualquier $x\in X$, existe algún $x^{\prime }\in X^{\prime }$ tal que $x^{\prime }(x)\ne 0$). Sean $X_b^{\prime }$ y $X_{\beta }^{\prime }$, de forma que ambos denotan el espacio dual fuerte de Plantilla:Mvar, que es el espacio vectorial $X^{\prime }$ de funcionales lineales continuos en Plantilla:Mvar dotado con la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de Plantilla:Mvar. Esta topología también se denomina topología dual fuerte y es la topología "predeterminada" sobre un espacio dual continuo (a menos que se especifique otra topología). Si Plantilla:Mvar es un espacio normado, entonces el dual fuerte de Plantilla:Mvar es el espacio dual continuo $X^{\prime }$ con su topología normal habitual. El bidual de Plantilla:Mvar, denotado por $X^{\prime \prime }$, es el dual fuerte de $X_b^{\prime }$; es decir, es el espacio ${\left(X_b^{\prime }\right)}_b^{\prime }$.Plantilla:Sfn

Para cualquier $x\in X,$, defínase $J_x:X^{\prime }\to 𝔽$ mediante $J_x\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x)$, donde $J_x$ se denomina aplicación de evaluación en Plantilla:Mvar. Dado que $J_x:X_b^{\prime }\to 𝔽$ es necesariamente continua, se deduce que $J_x\in {\left(X_b^{\prime }\right)}^{\prime }$. A su vez, $X^{\prime }$ separa puntos en Plantilla:Mvar, la aplicación $J:X\to {\left(X_b^{\prime }\right)}^{\prime }$ definida por $J(x):=J_x$ es inyectiva, y esta aplicación se denomina aplicación de evaluación o aplicación canónica. Esta aplicación fue introducida por Hans Hahn en 1927.Plantilla:Sfn

Plantilla:Mvar se denomina semireflexivo si $J:X\to {\left(X_b^{\prime }\right)}^{\prime }$ es biyectiva (o equivalentemente, sobreyectiva) y se dice que Plantilla:Mvar es reflexivo si además $J:X\to X^{\prime \prime }={\left(X_b^{\prime }\right)}_b^{\prime }$ es un isomorfismo del EVT.Plantilla:Sfn Si Plantilla:Mvar es un espacio normado, entonces Plantilla:Mvar es un embebido de un EVT y una isometría en su rango, entonces, según el teorema de Goldstine (probado en 1938), el rango de Plantilla:Mvar es un subconjunto denso de $(X^{\prime \prime },\sigma (X^{\prime \prime },X^{\prime }))$ bidual.Plantilla:Sfn Un espacio normado es reflexivo si y solo si es semirreflexivo. Un espacio de Banach es reflexivo si y solo si su bola unitaria cerrada es $\sigma (X^{\prime },X)$-compacta.Plantilla:Sfn

Definición detallada

Sea Plantilla:Mvar un espacio vectorial topológico sobre un cuerpo numérico $𝔽$ (el de los números reales $ℝ$ o el de los números complejos $ℂ$). Considérese su Espacio dual fuerte $X_b^{\prime }$, que consta de todos los funcionales lineales continuos $f:X\to 𝔽$ y está equipado con la topología fuerte $b(X^{\prime },X)$, es decir, la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados en Plantilla:Mvar. El espacio $X_b^{\prime }$ es un espacio vectorial topológico (para ser más precisos, un espacio localmente convexo), por lo que se puede considerar su espacio dual fuerte ${\left(X_b^{\prime }\right)}_b^{\prime }$, que se denomina espacio bidual fuerte para Plantilla:Mvar, se compone de todos funcionales lineales continuos $h:X_b^{\prime }\to 𝔽$ y está equipado con la topología fuerte $b({\left(X_b^{\prime }\right)}^{\prime },X_b^{\prime })$. Cada vector $x\in X$ genera una aplicación $J(x):X_b^{\prime }\to 𝔽$ mediante la siguiente fórmula:

$J(x)(f)=f(x),f\in X^{\prime }.$

Esta es una función lineal continua en $X_b^{\prime }$, es decir, $J(x)\in {\left(X_b^{\prime }\right)}_b^{\prime }$. Se obtiene un aplicación llamada aplicación de evaluación o inyección canónica:

$J:X\to {\left(X_b^{\prime }\right)}_b^{\prime }$

que es un aplicación lineal. Si Plantilla:Mvar es localmente convexo, del teorema de Hahn–Banach se deduce que Plantilla:Mvar es inyectiva y abierta (es decir, para cada entorno de cero $U$ en Plantilla:Mvar hay una entorno de cero Plantilla:Mvar en ${\left(X_b^{\prime }\right)}_b^{\prime }$ tal que $J(U)\supseteq V\cap J(X)$). Pero puede ser no sobreyectivo y/o discontinuo.

Un espacio localmente convexo $X$ se llama semi-reflexivo si la aplicación de evaluación $J:X\to {\left(X_b^{\prime }\right)}_b^{\prime }$ es sobreyectiva (y por lo tanto, biyectiva); se llama reflexiva si la aplicación de evaluación $J:X\to {\left(X_b^{\prime }\right)}_b^{\prime }$ es sobreyectiva y continua, en cuyo caso Plantilla:Mvar será un isomorfismo de EVTs).

Caracterización de espacios semirreflexivos

Si Plantilla:Mvar es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces las siguientes expresiones son equivalentes:

1. Plantilla:Mvar es semireflexivo.
2. La topología débil en Plantilla:Mvar tiene la propiedad de Heine-Borel (es decir, para la topología débil $\sigma (X,X^{\prime })$, cada subconjunto cerrado y acotado de $X_{\sigma }$ es débilmente compacto).Plantilla:Sfn
3. Si la forma lineal en $X^{\prime }$ es continua cuando $X^{\prime }$ tiene la topología dual fuerte, entonces es continua cuando $X^{\prime }$ tiene la topología débil.Plantilla:Sfn
4. $X_{\tau }^{\prime }$ es barrilado, donde $\tau$ indica la topología de Mackey en $X^{\prime }$.Plantilla:Sfn
5. Con Plantilla:Mvar débil, la topología débil $\sigma (X,X^{\prime })$ es cuasi completa.Plantilla:Sfn

Condiciones suficientes

Cada espacio semi de Montel es semirreflexivo, y cada espacio de Montel es reflexivo.

Propiedades

Si $X$ es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces la inyección canónica de $X$ en su bidual es un embebido topológico si y solo si $X$ es infrabarrilado.Plantilla:Sfn

El dual fuerte de un espacio semireflexivo es barrilado. Todo espacio semirreflexivo es cuasi completo.Plantilla:Sfn Todo espacio normado semirreflexivo es un espacio de Banach reflexivo.Plantilla:Sfn El dual fuerte de un espacio semirreflexivo es barrilado.Plantilla:Sfn

Espacios reflexivos

Si Plantilla:Mvar es un espacio localmente convexo de Hausdorff, entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

1. Plantilla:Mvar es reflexivo.
2. Plantilla:Mvar es semireflexivo y barrilado.
3. Plantilla:Mvar es barrilado y la topología débil en Plantilla:Mvar tiene la propiedad de Heine-Borel (lo que significa que para la topología débil $\sigma (X,X^{\prime })$, cada subconjunto cerrado y acotado de $X_{\sigma }$ es débilmente compacto).Plantilla:Sfn
4. Plantilla:Mvar es semireflexivo y cuasi barrilado.Plantilla:Sfn

Si Plantilla:Mvar es un espacio vectorial normado, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:

1. Plantilla:Mvar es reflexivo.
2. La bola cerrada unitaria es compacta cuando Plantilla:Mvar tiene la topología débil $\sigma (X,X^{\prime })$.Plantilla:Sfn
3. Plantilla:Mvar es un espacio de Banach y $X_b^{\prime }$ es reflexivo.Plantilla:Sfn

Ejemplos

Cada espacio reflexivo de dimensión infinita que no es un espacio de Banach es un espacio distinguido que no es semirreflexivo.Plantilla:Sfn Si $X$ es un subespacio vectorial propio denso de un espacio de Banach reflexivo, entonces $X$ es un espacio normado que no es semirreflexivo, pero su espacio dual fuerte es un espacio de Banach reflexivo.Plantilla:Sfn Existe un espacio barrilado numerable semirreflexivo que no es barrilado.Plantilla:Sfn

Véase también

• Espacio de Grothendieck: una generalización que tiene algunas de las propiedades de los espacios reflexivos e incluye muchos espacios de importancia práctica.
• Álgebra de operadores reflexivos
• Espacio reflexivo

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
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• John B. Conway,A Course in Functional Analysis, Springer, 1985.
• Plantilla:Cita libro
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• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro
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