Espacio distinguido

En análisis funcional y en otras áreas relacionadas de las matemáticas, los espacios distinguidos son espacio vectorial topológico (EVT) que tienen la propiedad de que los subconjuntos acotados *débil de sus biduales (es decir, los espacios duales fuertes de sus espacios duales fuertes) están contenidos en la clausura *débil de algún subconjunto acotado del bidual.

Definición

Supóngase que $X$ es un espacio localmente convexo, y considérese que $X^{\prime }$ y $X_b^{\prime }$ denoten el espacio dual fuerte de $X$ (es decir, el espacio dual de $X$ dotado con la topología dual fuerte). Sea $X^{\prime \prime }$ el espacio dual continuo de $X_b^{\prime }$ y $X_b^{\prime \prime }$ el dual fuerte de $X_b^{\prime }.$ Sea $X_{\sigma }^{\prime \prime }$, denotándose $X^{\prime \prime }$ dotado de la topología *débil inducida por $X^{\prime },$ donde esta topología se denota por $\sigma (X^{\prime \prime },X^{\prime })$ (es decir, la topología de convergencia puntual en $X^{\prime }$). Se dice que un subconjunto $W$ de $X^{\prime \prime }$ está acotado por $\sigma (X^{\prime \prime },X^{\prime })$ si es un subconjunto acotado de $X_{\sigma }^{\prime \prime }$ y se llama al cierre de $W$ en el EVT $X_{\sigma }^{\prime \prime }$ el cierre $\sigma (X^{\prime \prime },X^{\prime })$ de $W$. Si $B$ es un subconjunto de $X$, entonces el polar de $B$ es $B^{\circ }:=\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\underset{b\in B}{\sup }⟨b,x^{\prime }⟩\le 1\}.$

Un espacio localmente convexo de Hausdorff $X$ se denomina espacio distinguido si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. Si $W\subseteq X^{\prime \prime }$ es un subconjunto acotado por $\sigma (X^{\prime \prime },X^{\prime })$ de $X^{\prime \prime }$, entonces existe un subconjunto acotado $B$ de $X_b^{\prime \prime }$ cuyo cierre $\sigma (X^{\prime \prime },X^{\prime })$ contiene a $W$.Plantilla:Sfn
2. Si $W\subseteq X^{\prime \prime }$ es un subconjunto acotado por $\sigma (X^{\prime \prime },X^{\prime })$ de $X^{\prime \prime }$, entonces existe un subconjunto acotado $B$ de $X$ tal que $W$ está contenido en $B^{\circ \circ }:=\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\underset{x^{\prime }\in B^{\circ }}{\sup }⟨x^{\prime },x^{\prime \prime }⟩\le 1\},$, que es el polar (en relación con la dualidad $⟨X^{\prime },X^{\prime \prime }⟩$) de $B^{\circ }.$Plantilla:Sfn
3. El dual fuerte de $X$ es un espacio barrilado.Plantilla:Sfn

Si además $X$ es un espacio localmente convexo metrizable, esta lista puede ampliarse para incluir:

4. (Grothendieck) El dual fuerte de $X$ es un espacio bornológico.Plantilla:Sfn

Condiciones suficientes

Todos los espacios vectoriales normados y espacios semireflexivos son espacios distinguidos.Plantilla:Sfn Los espacios LF son espacios distinguidos.

El espacio dual fuerte $X_b^{\prime }$ de un espacio de Fréchet $X$ se distingue si y solo si $X$ es cuasi barrilado.

Propiedades

Todo espacio distinguido localmente convexo es un espacio H.Plantilla:Sfn

Ejemplos

Existen espacios de Banach distinguidos que no son semirreflexivos.Plantilla:Sfn El espacio dual fuerte de un espacio de Banach distinguido no es necesariamente separable; el $l^1$ es uno de estos espacios.Plantilla:Sfn El espacio dual fuerte de un espacio de Fréchet distinguido no es necesariamente un espacio metrizable.Plantilla:Sfn Existe un espacio de Mackey $X$ Plantilla:Enf cuasi barrilado, Plantilla:Enf reflexivo y semirreflexivo, cuyo dual fuerte es un espacio de Banach no reflexivo.Plantilla:Sfn Existen espacios H que no son espacios distinguidos.Plantilla:Sfn

Los espacios de Montel de Fréchet son espacios distinguidos.

Véase también

• Espacio de Montel
• Espacio semirreflexivo

Bibliografía

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