Espacio vectorial topológico de Schwartz

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio vectorial topológico de Schwartz (o simplemente, un espacio de Schwartz) es un tipo de espacio vectorial topológico (EVT) cuyos entornos del origen tienen una propiedad similar a la definición de los subconjuntos totalmente acotados. Estos espacios fueron introducidos por Alexander Grothendieck.

Definición

Un espacio localmente convexo de Hausdorff Plantilla:Mvar con $X^{'}$ dual continuo, se denomina espacio de Schwartz si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:Plantilla:Sfn

Para cada entorno del origen Plantilla:Mvar equilibrado convexo y cerrado en Plantilla:Mvar, existe un entorno Plantilla:Mvar de Plantilla:Math en Plantilla:Mvar tal que para todo Plantilla:Math real, Plantilla:Mvar puede estar recubierto por un número finito de traslaciones de Plantilla:Math.
Cada subconjunto acotado de Plantilla:Mvar es un espacio totalmente acotado, y para cada entorno del origen Plantilla:Mvar equilibrado convexo y cerrado en Plantilla:Mvar, existe una vecindad Plantilla:Mvar de Plantilla:Math en Plantilla:Mvar tal que para todo Plantilla:Math real, existe un subconjunto acotado Plantilla:Mvar de Plantilla:Mvar tal que Plantilla:Math.

Los subespacios vectoriales de los espacios de Schwartz son espacios de Schwartz.
El cociente de un espacio de Schwartz por un subespacio vectorial cerrado es nuevamente un espacio de Schwartz.
El producto cartesiano de cualquier familia de espacios de Schwartz es nuevamente un espacio de Schwartz.
La topología débil inducida en un espacio vectorial por una familia de aplicaciones lineales valoradas en espacios de Schwartz es un espacio de Schwartz si la topología débil es de Hausdorff.
El límite inductivo estricto localmente convexo de cualquier secuencia numerable de espacios de Schwartz (con cada EVT embebido en el siguiente espacio), es nuevamente un espacio de Schwartz.

Todo espacio vectorial normado de dimensión infinita "no" es un espacio de Schwartz.Plantilla:Sfn

Existen espacios de Fréchet que no son espacios de Schwartz, y existen espacios de Schwartz que no son espacios de Montel.Plantilla:Sfn