Flujo (matemáticas)

Flujo en el espacio de fase especificado por la ecuación diferencial de un péndulo. En el eje x, la posición del péndulo, y en el y su velocidad.

En matemáticas, un flujo formaliza la idea del movimiento de las partículas en un fluido. Los flujos son omnipresentes en la ciencia, incluida la ingeniería y la física. La noción de flujo es básica para el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. De manera informal, un flujo puede verse como un movimiento continuo de puntos a lo largo del tiempo. Más formalmente, un flujo es una acción grupal de los números reales en un conjunto.

La idea de un flujo vectorial, es decir, el flujo determinado por un campo vectorial, se produce en las áreas de topología diferencial, geometría riemanniana y grupos de Lie. Los ejemplos específicos de flujos vectoriales incluyen el flujo geodésico, el flujo hamiltoniano, el flujo de Ricci, el flujo de curvatura media y el flujo de Anosov. Los flujos también pueden definirse para sistemas de variables aleatorias y procesos estocásticos, y ocurren en el estudio de sistemas dinámicos ergódicos. El más célebre de estos es quizás el flujo de Bernoulli.

Definición formal

Un flujo en un conjunto Plantilla:Mvar es una acción grupal del grupo aditivo de números reales en Plantilla:Mvar. Más explícitamente, un flujo es un mapeo

$\phi :X\times ℝ\to X$

de modo que, para todas las Plantilla:Mvar ∈ Plantilla:Mvar y todos los números reales Plantilla:Mvar y Plantilla:Mvar ,

$\phi (x,0)=x;$

$\phi (\phi (x,t),s)=\phi (x,s+t).$

Es habitual para escribir Plantilla:Math en lugar de Plantilla:Math de manera que las ecuaciones anteriores se pueden expresar como Plantilla:Nowrap (función de identidad ) y Plantilla:Nowrap (ley grupo ). Entonces, para todo Plantilla:Nowrap el Plantilla:Nowrap mapeo Plantilla:Nowrap es una biyección con inversa Plantilla:Nowrap Esto se desprende de la definición anterior, y el parámetro real Plantilla:Mvar puede tomarse como una potencia funcional generalizada, como en la iteración de la función.

Por lo general, se requiere que los flujos sean compatibles con las estructuras proporcionadas en el conjunto Plantilla:Mvar. En particular, si Plantilla:Mvar está equipada con una topología, generalmente se requiere que Plantilla:Mvar sea continua. Si Plantilla:Mvar está equipado con una estructura diferenciable, generalmente se requiere que Plantilla:Mvar sea diferenciable. En estos casos, el flujo forma un subgrupo de parámetros de homeomorfismos y difeomorfismos, respectivamente.

En ciertas situaciones, también se podrían considerar flujos locales, que se definen solo en algunos subconjuntos.

$\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\phi )=\{(x,t)|t\in [a_x,b_x],a_x<0<b_x,x\in X\}\subset X\times ℝ$

llamado el dominio de flujo de Plantilla:Mvar. Este es a menudo el caso de los flujos de campos vectoriales.

Notaciones alternativas

Es muy común en muchos campos, incluidos la ingeniería, la física y el estudio de ecuaciones diferenciales, usar una notación que hace que el flujo sea implícito. Por lo tanto, Plantilla:Math se escribe para Plantilla:Math , y se podría decir que la "variable Plantilla:Mvar depende del tiempo Plantilla:Mvar y la condición inicial Plantilla:Math".

En el caso de un flujo de un campo vectorial Plantilla:Mvar en una variedad diferenciable Plantilla:Mvar , el flujo a menudo se denota de tal manera que su generador se hace explícito. Por ejemplo,

${\mathrm{\Phi }}_V:X\times ℝ\to X;(x,t)\mapsto {\mathrm{\Phi }}_V^t(x).$

Órbitas

Dado Plantilla:Mvar en Plantilla:Mvar , el conjunto $\{\phi (x,t):t\in ℝ\}$ se llama la órbita de Plantilla:Mvar debajo de Plantilla:Mvar. De manera informal, se puede considerar como la trayectoria de una partícula que inicialmente se colocó en Plantilla:Mvar. Si el flujo es generado por un campo vectorial, entonces sus órbitas son las imágenes de sus curvas integrales.

Ejemplos

Sistemas autónomos de ecuaciones diferenciales ordinarias

Sea Plantilla:Math un campo vectorial (independiente del tiempo) Plantilla:Math la solución del problema del valor inicial

$\dot{𝒙}(t)=𝑭(𝒙(t)),𝒙(0)={𝒙}_0.$

Entonces Plantilla:Math es el flujo del campo vectorial F. Es un flujo local bien definido siempre que el campo vectorial Plantilla:Math sea continuo de Lipschitz. Entonces Plantilla:Math también es Lipschitz-continuo donde se define. En general, puede ser difícil demostrar que el flujo Plantilla:Mvar está definido globalmente, pero un criterio simple es que el campo vectorial F es compatible de manera compacta.

Ecuaciones diferenciales ordinarias dependientes del tiempo

En el caso de campos vectoriales dependientes del tiempo Plantilla:Math , uno denota Plantilla:Math , donde Plantilla:Math es la solución de

$\dot{𝒙}(t)=𝑭(𝒙(t),t),𝒙(t_0)={𝒙}_0.$

Entonces Plantilla:Math es el flujo dependiente del tiempo de F. No es un "flujo" según la definición anterior, pero puede verse fácilmente como uno al reorganizar sus argumentos. A saber, el mapeo.

$\phi :({ℝ}^n\times ℝ)\times ℝ\to {ℝ}^n\times ℝ;\phi (({𝒙}_0,t_0),t)=({\phi }^{t,t_0}({𝒙}_0),t+t_0)$

De hecho satisface la ley de grupo para la última variable:

$\phi (\phi (({𝒙}_0,t_0),t),s)=\phi (({\phi }^{t,t_0}({𝒙}_0),t+t_0),s)=({\phi }^{s,t+t_0}({\phi }^{t,t_0}({𝒙}_0)),s+t+t_0)=({\phi }^{s,t+t_0}(𝒙(t+t_0)),s+t+t_0)=(𝒙(s+t+t_0),s+t+t_0)=({\phi }^{s+t,t_0}({𝒙}_0),s+t+t_0)=\phi (({𝒙}_0,t_0),s+t).$

Uno puede ver los flujos de campos vectoriales dependientes del tiempo como casos especiales de los independientes del tiempo mediante el siguiente truco. Definir

$𝑮(𝒙,t):=(𝑭(𝒙,t),1),𝒚(t):=(𝒙(t+t_0),t+t_0).$

Entonces y ( t ) es la solución del problema del valor inicial "independiente del tiempo"

$\dot{𝒚}(s)=𝑮(𝒚(s)),𝒚(0)=({𝒙}_0,t_0)$

si y solo si Plantilla:Math es la solución del problema del valor inicial original dependiente del tiempo. Además, entonces el mapeo Plantilla:Mvar es exactamente el flujo del campo vectorial G "independiente del tiempo".

Flujos de campos vectoriales en variedades

Los flujos de campos vectoriales independientes del tiempo y dependientes del tiempo se definen en variedades lisas exactamente como se definen en el espacio euclidiano Plantilla:Math y su comportamiento local es el mismo. Sin embargo, la estructura topológica global de una variedad uniforme se manifiesta fuertemente en el tipo de campos vectoriales globales que puede soportar, y los flujos de campos vectoriales en variedades suaves son de hecho una herramienta importante en la topología diferencial. La mayor parte de los estudios en sistemas dinámicos se llevan a cabo en variedades lisas, que se consideran como "espacios de parámetros" en las aplicaciones.

Soluciones de ecuación de calor

Sea Plantilla:Mvar un subdominio (limitado o no) de ℝ ⁿ (con Plantilla:Mvar un número entero). Indica por Plantilla:Mvar su límite (supuesto suave). Considere la siguiente ecuación de calor en Plantilla:Mvar × (0, Plantilla:Mvar ), para Plantilla:Mvar > 0,

$\begin{array}{cccc}{u}_t-\mathrm{\Delta }u& =& 0& \text{ in }\mathrm{\Omega }\times (0,T),\\ u& =& 0& \text{ on }\mathrm{\Gamma }\times (0,T),\end{array}$

con la siguiente condición de límite inicial Plantilla:Math en Plantilla:Mvar .

La ecuación Plantilla:Mvar = 0 en Plantilla:Math corresponde a la condición de límite de Dirichlet homogénea. La configuración matemática para este problema puede ser el enfoque de semigrupo. Para utilizar esta herramienta, presentamos el operador ilimitado Plantilla:Math definido en $L^2(\mathrm{\Omega })$por su dominio

$D({\mathrm{\Delta }}_D)=H^2(\mathrm{\Omega })\cap H_0^1(\mathrm{\Omega })$

(ver los espacios clásicos de Sobolev con $H^k(\mathrm{\Omega })=W^{k,2}(\mathrm{\Omega })$ y

$H_0^1(\mathrm{\Omega })={\overline{C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })}}^{H^1(\mathrm{\Omega })}$

es el cierre de las funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto en Plantilla:Mvar para el $H^1(\mathrm{\Omega })-$ $H^1(\mathrm{\Omega })-$normal).

Para cualquier $v\in D({\mathrm{\Delta }}_D)$, tenemos

${\mathrm{\Delta }}_{D}v=\mathrm{\Delta }v=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}v.$

Con este operador, la ecuación de calor se convierte en $u^{\prime }(t)={\mathrm{\Delta }}_{D}u(t)$ y Plantilla:Math . Por lo tanto, el flujo correspondiente a esta ecuación es (ver las anotaciones anteriores)

$\phi (u^0,t)={\text{e}}^{t{\mathrm{\Delta }}_D}{u}^0$

donde Plantilla:Math es el semigrupo (analítico) generado por Plantilla:Math

Soluciones de ecuación de onda

Nuevamente, sea Plantilla:Mvar un subdominio (limitado o no) de ℝ ⁿ (con Plantilla:Mvar un número entero). Denotamos por Plantilla:Mvar su límite (supuesto suave). Considere la siguiente ecuación de onda en $\mathrm{\Omega }\times (0,T)$(para Plantilla:Mvar > 0),

$\begin{array}{cccc}{u}_{tt}-\mathrm{\Delta }u& =& 0& \text{ in }\mathrm{\Omega }\times (0,T),\\ u& =& 0& \text{ on }\mathrm{\Gamma }\times (0,T),\end{array}$

con la siguiente condición inicial Plantilla:Math in $\mathrm{\Omega }$y $u_t(0)=u^{2,0}\text{ in }\mathrm{\Omega }$.

Usando el mismo enfoque de semigrupo que en el caso de la Ecuación de Calor anterior. Escribimos la ecuación de onda como una ecuación diferencial parcial de primer orden en el tiempo mediante la introducción del siguiente operador ilimitado,

$𝒜=\left(\begin{array}{cc}0& Id\\ {\mathrm{\Delta }}_D& 0\end{array}\right)$

con dominio $D(𝒜)=H^2(\mathrm{\Omega })\cap H_0^1(\mathrm{\Omega })\times H_0^1(\mathrm{\Omega })$en $H=H_0^1(\mathrm{\Omega })\times L^2(\mathrm{\Omega })$(el operador ${\mathrm{\Delta }}_D$se define en el ejemplo anterior).

Introducimos los vectores de columnas.

$U=\left(\begin{array}{c}{u}^1\\ u^2\end{array}\right)$

(donde $u^1=u$ y $u^2=u_t$) y

$U^0=\left(\begin{array}{c}{u}^{1,0}\\ u^{2,0}\end{array}\right)$.

Con estas nociones, la ecuación de onda se convierte en $U^{\prime }(t)=𝒜U(t)$ y $U(0)=U^0$ .

Por lo tanto, el flujo correspondiente a esta ecuación es $\phi (U^0,t)={\text{e}}^{t𝒜}{U}^0$ donde ${\text{e}}^{t𝒜}$es el semigrupo (unitario) generado por $𝒜$.

Flujo de Bernoulli

Los sistemas dinámicos ergódicos, es decir, los sistemas que exhiben aleatoriedad, también exhiben flujos. El más célebre de estos es quizás el flujo de Bernoulli. El teorema del isomorfismo de Ornstein establece que, para cualquier entropía Plantilla:Mvar dada, existe un flujo Plantilla:Math , llamado el flujo de Bernoulli, de modo que el flujo en el tiempo Plantilla:Mvar = 1, es decir , Plantilla:Math , es un cambio de Bernoulli.

Además, este flujo es único, hasta una escala de tiempo constante. Es decir, si Plantilla:Math es otro flujo con la misma entropía, entonces Plantilla:Math , para alguna constante Plantilla:Mvar. La noción de singularidad e isomorfismo aquí es la del isomorfismo de los sistemas dinámicos. Muchos sistemas dinámicos, incluidos los billares de Sinai y los flujos de Anosov, son isomorfos a los cambios de Bernoulli.

Véase también

• Ecuación de Abel
• Función iterada
• Ecuación de Schröder
• Composiciones infinitas de funciones analíticas

Referencias

• Plantilla:Springer
• Plantilla:Springer
• Plantilla:Springer
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