Complemento de un conjunto
El complemento de un conjunto o conjunto complementario es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de números naturales, el complementario del conjunto de los números primos Plantilla:Math es el conjunto de los números no primos Plantilla:Math, que está formado por los números compuestos y el 1:
A su vez, el conjunto Plantilla:Math es el complementario de Plantilla:Math. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el superíndice «Plantilla:Math», por lo que se tiene: Plantilla:Math, y también Plantilla:Math.
El conjunto complementario de Plantilla:Math es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y Plantilla:Math, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.
Definición
Dado un conjunto Plantilla:Math, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a Plantilla:Math: Plantilla:Definición Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal Plantilla:Math, pues de otro modo, en la afirmación «todos los Plantilla:Math que no están en Plantilla:Math», la palabra «todos» es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal Plantilla:Math, entonces el complementario de Plantilla:Math es el conjunto de todos los elementos de Plantilla:Math que no están en Plantilla:Math, por lo que la relación con la diferencia es clara: Plantilla:Definición Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la noción de complementariedad: Plantilla:Teorema
Ejemplo.
- El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando de personas).
- Hablando de números naturales, el complementario del conjunto Plantilla:Math es el conjunto Plantilla:Math.
- El complementario del conjunto Plantilla:Math en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal Plantilla:Math es toda el área del rectángulo).
Propiedades
Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente: Plantilla:Teorema Puesto que la noción de complementariedad está relacionada con la negación en lógica, la primera posee propiedades similares a la segunda: Plantilla:Teorema
En también unas relaciones entre las operaciones de unión e intersección a través del complemento: Plantilla:Teorema
Relación Complementaria
Una Relación binaria R se define como un subconjunto de un producto cartesiano X × Y. La relación complementaria es el complemento del conjunto R en X × Y. El complemento de la relación R puede ser escrito como
Aquí, R es a menudo visto como una matriz lógica con las filas representado los elementos de X, y las columnas los elementos de Y. La verdad de aRb corresponde a 1 en la fila a , columna b . Produciendo la relación complementaria de "R" que corresponde a cambiar todos los 1 a 0 y los 0 a 1 para la matriz lógica del complemento.
Junto con la composición de relaciones y la relación inversa , las relaciones complementarias y el álgebra de conjuntos son la operación elemental de la lógica algebraica
Véase también
- Álgebra de conjuntos
- Conjunto
- Teoría de conjuntos
- Diferencia de conjuntos
- Unión de conjuntos
- Diferencia simétrica