Lema del pegado

En topología, una rama de las matemáticas, el lema del pegado es un resultado fundamental que da condiciones para que al "pegar" un conjunto de funciones continuas se obtenga como resultado una función que también sea continua. Por "pegar" entendemos construir la función, definida en la unión de los dominios de las funciones originales, que asigna a cada punto el valor que le asigna la función original definida en el dominio en que esté, es decir, si las funciones son $f_i:A_i\to X$, pegarlas resulta en la función $f:\bigcup A_i\to X$ definida por $f(x)=f_i(x)$ si $x\in A_i$. Claramente, las funciones originales deben coincidir en las intersecciones de sus dominios para que el pegado esté bien definido.

El lema del pegado es fundamental en topología algebraica: sirve para demostrar que la homotopía de funciones es una relación de equivalencia y para construir el grupo fundamental de un espacio topológico (para definir la operación de ese grupo, pues permite que al concatenar caminos continuos se obtenga también un camino continuo).

Enunciado

Sean $X=\bigcup _{i\in I}{X}_i$ e $Y$ espacios topológicos y consideremos en $X_i,i\in I$, la topología inducida por la de $X$. Sean entonces las funciones $f_i:X_i\to Y$ continuas, $i\in I$, satisfaciendo que $\mathrm{\forall }i,j\in I,\mathrm{\forall }x\in X_i\cap X_j,f_i(x)=f_j(x)$ (esta condición es necesaria para poder definir bien el pegado).

Supongamos además que se satisface alguna de las siguientes dos condiciones:

1. $\mathrm{\forall }i\in I{X}_i$ es abierto en $X$.
2. $\mathrm{\forall }i\in I{X}_i$ es cerrado en $X$ e $I$ es finito.

Entonces, la función pegado $f:X\to Y$ definida como $f(x)=f_i(x)$ si $x\in X_i$ está bien definida y es continua.

Condiciones necesarias

Veamos que es necesario que se satisfaga alguna de las dos condiciones 1 o 2 anteriores, pues si no el pegado podría no ser continuo.

Veamos primero un contraejemplo en caso de que todos los conjuntos no sean abiertos (o cerrados). Este es más sencillo, pues podemos tomar $X=ℝ$ y $X_1=(-\mathrm{\infty },0),X_2=[0,+\mathrm{\infty })$. Tenemos que $X=X_1\cup X_2$. Consideremos las funciones $f_1:(-\mathrm{\infty },0)\to Y=ℝ$ dada por $f_1(x)=0\mathrm{\forall }x\in X_1$ y $f_2:[0,+\mathrm{\infty })\to ℝ$ dada por $f_2(x)=1\mathrm{\forall }x\in X_2$, que son continuas por ser constantes. Sin embargo, el pegado (que está bien definido porque $X_1$ y $X_2$ son disjuntos) no lo es: $f:ℝ\to ℝ$ definida como $f(x)=\{\begin{array}{c}1,\text{si }x<0\\ 0,\text{si }x\ge 0\end{array}$.

Veamos ahora un contraejemplo en caso de que todos los conjuntos sean cerrados pero haya una cantidad infinita de ellos. Como antes, tomamos $X,Y=ℝ$ y los cerrados en que dividimos $X$ son los siguientes: $\{0\},{\left\{[\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]\right\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{>0}},{\left\{[-\frac{1}{n},-\frac{1}{n+1}]\right\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{>0}},(-\mathrm{\infty },-1],[1,+\mathrm{\infty })$. En todos ellos definimos la función constante igual a 1 (luego continua), excepto en $\{0\}$ donde la definimos igual a 0. Claramente las intersecciones se dan entre los conjuntos distintos del 0, por lo que las funciones valen lo mismo en ellas y podemos definir el pegado. Este en cambio es la función $f(x)=\{\begin{array}{c}1,\text{si }x\ne 0\\ 0,\text{si }x=0\end{array}$, que no es continua.

Demostración

Veamos que cualquiera de las dos condiciones 1 y 2 es suficiente. Empezamos por la condición 1. Para ver que $f$ es continua, tomamos un abierto $U$ de $Y$ arbitrario y vemos que su antiimagen $f^{-1}(U)$ es un abierto de $X$. Pero por definición del pegado, $f^{-1}(U)=\bigcup _{i\in I}{f}_i^{-1}(U)$. Como $f_i$ es continua, $f_i^{-1}(U)$ es un abierto de $X_i$. Si fueran abiertos de $X$ habríamos acabado por definición de topología ($f^{-1}(U)$ sería unión arbitraria de abiertos de $X$, luego también abierto de $X$). Sólo tenemos, sin embargo, que son abiertos de $X_i$. Pero por definición de topología inducida, esto quiere decir que $f_i^{-1}(U)=V\cap X_i$ para $V$ abierto de $X$. Como $X_i$ también es abierto de $X$ (por hipótesis), entonces $f_i^{-1}(U)=V\cap X_i$ también lo es, por definición de topología. Y esto es lo que queríamos, pues ahora $f^{-1}(U)=\bigcup _{i\in I}{f}_i^{-1}(U)$ es un abierto de $X$. Como $U$ era arbitrario, tenemos la continuidad.

Para la condición 2 procedemos de forma similar pero razonando con cerrados. Tomamos $D\subseteq Y$ cerrado. Tenemos que $f^{-1}(D)=\bigcup _{i\in I}{f}_i^{-1}(D)$. Como $f_i$ es continua, $f_i^{-1}(D)$ es un cerrado de $X_i$, por lo que se puede escribir como $E\cap X_i$, con $E$ un cerrado de $X$. Como $X_i$ también es un cerrado de $X$, por definición de topología, $f_i^{-1}(D)=E\cap X_i$ es un cerrado de $X$. Y esto para cada $i\in I$. Por tanto, $f^{-1}(D)=\bigcup _{i\in I}{f}_i^{-1}(D)$, al ser una unión finita de cerrados, vuelve a ser un cerrado. Como la antiimagen por $f$ de cualquier cerrado es cerrada, se sigue la continuidad. $◻$

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
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