Espacio medible

En matemáticas, un espacio medible o espacio de Borel es un objeto básico en la teoría de la medida. Consiste en un conjunto y un σ-álgebra, que define los subconjuntos que se medirán.

Definición

Considere un conjunto $X$ y una σ-álgebra $𝒜$ en $X$ . Entonces el par $(X,𝒜)$ se llama espacio medible.

Tenga en cuenta que, a diferencia de un espacio de medida, no se necesita ninguna medida para un espacio medible.

Ejemplo

Dado el conjunto

$X=\{1,2,3\}.$

Un posible $\sigma$ -álgebra sería

${𝒜}_1=\{X,\mathrm{\varnothing }\}.$

Entonces $(X,{𝒜}_1)$ es un espacio medible. Otro posible $\sigma$ -álgebra sería el conjunto potencia en $X$ :

${𝒜}_2=𝒫(X).$

Con esto, un segundo espacio medible en el conjunto $X$ es dado por $(X,{𝒜}_2)$ .

Espacios medibles comunes

Si $X$ es finito o infinito numerable, se toma la mayoría de las veces como $\sigma$-álgebra el conjunto potencia de $X$. Esto conduce al espacio medible $(X,𝒫(X))$.

Si $X$ es un espacio topológico, se toma comúnmente el $\sigma$-álgebra de Borel $ℬ(X)$. Esto conduce al espacio medible $(X,ℬ(X))$ que es común para todos los espacios topológicos, por ejemplo, los números reales $ℝ$.

Ambigüedad con espacios Borel

El término espacio Borel se usa para diferentes tipos de espacios medibles. Puede referirse a

• cualquier espacio medible, por lo que es sinónimo de espacio medible como se define anteriormente
• un espacio medible que es Borel isomorfo a un subconjunto medible de los números reales (nuevamente con el Borel $\sigma$ -álgebra)