Número primo de Wilson

Un número primo de Wilson o número de Wilson, llamado así en honor al matemático John Wilson, es un tipo de primo p tal que p² divide a (p − 1)! + 1, donde «!» denota la función factorial. Tiene cierta similitud con el teorema de Wilson, el cual cita que cada número primo p divide a (p − 1)! + 1.

Los únicos números primos de Wilson conocidos hasta la fecha son el 5, 13 y el 563 Plantilla:OEIS. Si existen otros primos de Wilson, aparte de los anteriores, éstos deben ser mayores que 5Plantilla:E. Se ha conjeturado que existen infinidad de primos de Wilson, y que la cantidad de números primos de Wilson dentro de un intervalo [x, y] está en torno a log(log(y) / log(x)).

Se han realizado varias búsquedas informáticas con la esperanza de encontrar nuevos números primos de Wilson. El proyecto Ibercivis de computación distribuida incluye una búsqueda de números primos de Wilson. Se coordinó otra búsqueda en el foro Great Internet Mersenne Prime Search.

Generalizaciones

Primos de Wilson de orden Plantilla:Mvar

El teorema de Wilson se puede expresar en forma general como $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1{)}^{n}modp$ para todo número entero $n\ge 1$ y primo $p\ge n$. Los primos de Wilson generalizados de orden Plantilla:Mvar son los primos Plantilla:Mvar tales que $p^2$ divide a $(n-1)!(p-n)!-(-1{)}^n$.

Se conjeturó que por cada número natural Plantilla:Mvar, existen infinitos números primos de Wilson de orden Plantilla:Mvar.

$n$ Primo $p$ tal que $p^2$ divide a $(n-1)!(p-n)!-(-1{)}^n$ (comprobado hasta 1000000) Secuencia OEIS 1 5, 13, 563, ... Plantilla:OEIS 2 2, 3, 11, 107, 4931, ... Plantilla:OEIS 3 7, ... 4 10429, ... 5 5, 7, 47, ... 6 11, ... 7 17, ... 8 ... 9 541, ... 10 11, 1109, ... 11 17, 2713, ... 12 ... 13 13, ... 14 ... 15 349, 41341, ...

$n$ Primo $p$ tal que $p^2$ divide a $(n-1)!(p-n)!-(-1{)}^n$ (comprobado hasta 1000000) Secuencia OEIS 16 31, ... 17 61, 251, 479, ... Plantilla:OEIS 18 13151527, ... 19 71, 621629, ... 20 59, 499, 43223, 214009, ... 21 217369, ... 22 ... 23 ... 24 47, 3163, ... 25 ... 26 97579, ... 27 53, ... 28 347, 739399, ... 29 ... 30 137, 1109, 5179, ...

Los primos de Wilson generalizados más pequeños de orden n son:

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ... (el siguiente término es > 1.4 × 10⁷) Plantilla:OEIS

Primos cercanos de Wilson

Plantilla:Mvar	Plantilla:Mvar
1282279	+20
1306817	−30
1308491	−55
1433813	−32
1638347	−45
1640147	−88
1647931	+14
1666403	+99
1750901	+34
1851953	−50
2031053	−18
2278343	+21
2313083	+15
2695933	−73
3640753	+69
3677071	−32
3764437	−99
3958621	+75
5062469	+39
5063803	+40
6331519	+91
6706067	+45
7392257	+40
8315831	+3
8871167	−85
9278443	−75
9615329	+27
9756727	+23
10746881	−7
11465149	−62
11512541	−26
11892977	−7
12632117	−27
12893203	−53
14296621	+2
16711069	+95
16738091	+58
17879887	+63
19344553	−93
19365641	+75
20951477	+25
20972977	+58
21561013	−90
23818681	+23
27783521	−51
27812887	+21
29085907	+9
29327513	+13
30959321	+24
33187157	+60
33968041	+12
39198017	−7
45920923	−63
51802061	+4
53188379	−54
56151923	−1
57526411	−66
64197799	+13
72818227	−27
87467099	−2
91926437	−32
92191909	+94
93445061	−30
93559087	−3
94510219	−69
101710369	−70
111310567	+22
117385529	−43
176779259	+56
212911781	−92
216331463	−36
253512533	+25
282361201	+24
327357841	−62
411237857	−84
479163953	−50
757362197	−28
824846833	+60
866006431	−81
1227886151	−51
1527857939	−19
1636804231	+64
1686290297	+18
1767839071	+8
1913042311	−65
1987272877	+5
2100839597	−34
2312420701	−78
2476913683	+94
3542985241	−74
4036677373	−5
4271431471	+83
4296847931	+41
5087988391	+51
5127702389	+50
7973760941	+76
9965682053	−18
10242692519	−97
11355061259	−45
11774118061	−1
12896325149	+86
13286279999	+52
20042556601	+27
21950810731	+93
23607097193	+97
24664241321	+46
28737804211	−58
35525054743	+26
41659815553	+55
42647052491	+10
44034466379	+39
60373446719	−48
64643245189	−21
66966581777	+91
67133912011	+9
80248324571	+46
80908082573	−20
100660783343	+87
112825721339	+70
231939720421	+41
258818504023	+4
260584487287	−52
265784418461	−78
298114694431	+82

Un primo p que satisface la congruencia Plantilla:Math con un pequeño Plantilla:Math puede llamarse primo cercano de Wilson. Los números primos cercanos de Wilson con Plantilla:Math se denominan números primos auténticos de Wilson. La tabla de la derecha enumera todos esos primos con Plantilla:Math desde 10⁶ hasta 4Plantilla:E:

Números de Wilson

Un número de Wilson es un número natural n tal que W(n) ≡ 0 (mod n²), donde $W(n)=\prod _{\stackrel{1\le k\le n}{\text{mcd}(k,n)=1}}k+e$, la constante e es igual a 1 si y solo si n tiene una raíz primitiva, en caso contrario, Plantilla:Nowrap. Para cada número natural n, W(n) es divisible por n, y los cocientes (llamados cocientes de Wilson generalizados) se enumeran en Plantilla:OEIS. Los números de Wilson son

1, 5, 13, 563, 5971, 558771, 1964215, 8121909, 12326713, 23025711, 26921605, 341569806, 399292158, ... Plantilla:OEIS

Si un número de Wilson n es primo, entonces n es un número primo de Wilson. Hay 13 números de Wilson hasta 5Plantilla:E.

Véase también

• Número primo de Wieferich
• Número primo de Wall-Sun-Sun
• Número primo de Wolstenholme
• Teorema de Wolstenholme
• PrimeGrid
• Tabla de congruencias

Bibliografía

• Plantilla:Cite journal
• Plantilla:Cite journal
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite journal
• Plantilla:Cite book
• Plantilla:Cite journal

Enlaces externos

• El glosario de Prime: Wilson prime
• Plantilla:MathWorld
• Estado de la búsqueda de números primos de Wilson