Parametrización de Weierstrass-Enneper

La parametrización de Weierstrass facilita la generación de superficies mínimas periódicas

En matemáticas, la parametrización de Weierstrass-Enneper de superficies mínimas es una pieza clásica de la geometría diferencial.

Alfred Enneper y Karl Weierstraß estudiaron superficies mínimas ya en 1863.

Propiedades

Sean $f$ y $g$ dos funciones en todo el plano complejo o en el disco unitario, donde $g$ es meromorfa y $f$ es analítica, de modo que dondequiera que $g$ tenga un polo de orden $m$, $f$ tenga un cero de orden $2m$ (o equivalentemente, tal que el producto $f{g}^2$ es holomorfo), y sean $c_1,c_2,c_3$ constantes. Entonces, la superficie con coordenadas $(x_1,x_2,x_3)$ es mínima, donde las $x_k$ se definen usando la parte real de una integral compleja, de la siguiente manera:

$\begin{array}{cc}{x}_k(\zeta )& =\mathrm{\Re }\{\underset{0}{\overset{\zeta }{\int }}{\phi }_k(z)dz\}+c_k,k=1,2,3\\ {\phi }_1& =f(1-g^2)/2\\ {\phi }_2& =𝐢f(1+g^2)/2\\ {\phi }_3& =fg\end{array}$

Lo contrario también es cierto: a cada superficie mínima no plana definida sobre un dominio simplemente conexo se le puede dar una parametrización de este tipo.

Por ejemplo, la superficie de Enneper tiene Plantilla:Math, Plantilla:Math.

Superficie paramétrica de variables complejas

Las líneas de curvatura forman una cuadrangulación del dominio

El modelo de Weierstrass-Enneper define una superficie mínima $X$ (${ℝ}^3$) en un plano complejo ($ℂ$). Sea $\omega =u+vi$ (el plano complejo como el espacio $uv$), la matriz jacobiana de la superficie se puede escribir como una columna de entradas complejas:

$𝐉=\left[\begin{array}{c}(1-g^2(\omega ))f(\omega )\\ i(1+g^2(\omega ))f(\omega )\\ 2g(\omega )f(\omega )\end{array}\right]$

donde $f(\omega )$ y $g(\omega )$ son funciones holomorfas de $\omega$.

El jacobiano $𝐉$ representa los dos vectores tangentes ortogonales de la superficie:

${𝐗}_{𝐮}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}{𝐉}_1\\ \mathrm{Re}{𝐉}_2\\ \mathrm{Re}{𝐉}_3\end{array}\right]{𝐗}_{𝐯}=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{Im}{𝐉}_1\\ -\mathrm{Im}{𝐉}_2\\ -\mathrm{Im}{𝐉}_3\end{array}\right]$

La superficie normal está dada por

$\widehat{𝐧}=\frac{{𝐗}_{𝐮}\times {𝐗}_{𝐯}}{|{𝐗}_{𝐮}\times {𝐗}_{𝐯}|}=\frac{1}{|g{|}^2+1}\left[\begin{array}{c}2\mathrm{Re}g\\ 2\mathrm{Im}g\\ |g{|}^2-1\end{array}\right]$

El jacobiano $𝐉$ conduce a una serie de propiedades importantes: ${𝐗}_{𝐮}\cdot {𝐗}_{𝐯}=0$, ${{𝐗}_{𝐮}}^2=\mathrm{Re}({𝐉}^2)$, ${{𝐗}_{𝐯}}^2=\mathrm{Im}({𝐉}^2)$, ${𝐗}_{𝐮𝐮}+{𝐗}_{𝐯𝐯}=0$. Las demostraciones se pueden encontrar en el ensayo de Sharma: la representación de Weierstrass siempre da una superficie mínima. Las derivadas se pueden utilizar para construir la matriz de la primera forma fundamental:

$\left[\begin{array}{cc}{𝐗}_{𝐮}\cdot {𝐗}_{𝐮}& {𝐗}_{𝐮}\cdot {𝐗}_{𝐯}\\ {𝐗}_{𝐯}\cdot {𝐗}_{𝐮}& {𝐗}_{𝐯}\cdot {𝐗}_{𝐯}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

y la matriz de la segunda forma fundamental

$\left[\begin{array}{cc}{𝐗}_{𝐮𝐮}\cdot \widehat{𝐧}& {𝐗}_{𝐮𝐯}\cdot \widehat{𝐧}\\ {𝐗}_{𝐯𝐮}\cdot \widehat{𝐧}& {𝐗}_{𝐯𝐯}\cdot \widehat{𝐧}\end{array}\right]$

Finalmente, un punto ${\omega }_t$ en el plano complejo se asigna a un punto $𝐗$ en la superficie mínima en ${ℝ}^3$ mediante

$𝐗=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}\underset{{\omega }_0}{\overset{{\omega }_t}{\int }}{𝐉}_{1}d\omega \\ \mathrm{Re}\underset{{\omega }_0}{\overset{{\omega }_t}{\int }}{𝐉}_{2}d\omega \\ \mathrm{Re}\underset{{\omega }_0}{\overset{{\omega }_t}{\int }}{𝐉}_{3}d\omega \end{array}\right]$

donde ${\omega }_0=0$ para todas las superficies mínimas del documento, excepto en la superficie mínima de Costa, en la que ${\omega }_0=(1+i)/2$.

Superficies mínimas embebidas y ejemplos

El dominio fundamental (C) y las superficies 3D. Las superficies continuas están hechas de copias de la celda fundamental (R3)

Una catenaria que abarca puntos periódicos de una hélice, que se gira a lo largo de la hélice para producir una superficie mínima

Los ejemplos clásicos de superficies mínimas completas embebidas en ${ℝ}^3$ con topología finita incluyen el plano, la catenoide, el helicoide y la superficie mínima de Costa. La superficie de Costa involucra a las funciones elípticas de Weierstraß $\mathrm{\wp }$:

$g(\omega )=\frac{A}{{\mathrm{\wp }}^{\prime }(\omega )}$

$f(\omega )=\mathrm{\wp }(\omega )$

donde $A$ es una constante.

Helicatenoide

Eligiendo las funciones $f(\omega )=e^{-i\alpha }{e}^{\omega /A}$ y $g(\omega )=e^{-\omega /A}$ se obtiene una familia de superficies mínimas de un parámetro

${\phi }_1=e^{-i\alpha }\sinh \left(\frac{\omega }{A}\right)$

${\phi }_2=i{e}^{-i\alpha }\cosh \left(\frac{\omega }{A}\right)$

${\phi }_3=e^{-i\alpha }$

$𝐗(\omega )=\mathrm{Re}\left[\begin{array}{c}{e}^{-i\alpha }A\cosh \left(\frac{\omega }{A}\right)\\ i{e}^{-i\alpha }A\sinh \left(\frac{\omega }{A}\right)\\ e^{-i\alpha }\omega \end{array}\right]=\cos (\alpha )\left[\begin{array}{c}A\cosh \left(\frac{\mathrm{Re}(\omega )}{A}\right)\cos \left(\frac{\mathrm{Im}(\omega )}{A}\right)\\ -A\cosh \left(\frac{\mathrm{Re}(\omega )}{A}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{Im}(\omega )}{A}\right)\\ \mathrm{Re}(\omega )\end{array}\right]+\sin (\alpha )\left[\begin{array}{c}A\sinh \left(\frac{\mathrm{Re}(\omega )}{A}\right)\sin \left(\frac{\mathrm{Im}(\omega )}{A}\right)\\ A\sinh \left(\frac{\mathrm{Re}(\omega )}{A}\right)\cos \left(\frac{\mathrm{Im}(\omega )}{A}\right)\\ \mathrm{Im}(\omega )\end{array}\right]$

Eligiendo los parámetros de la superficie como $\omega =s+i(A\varphi )$:

$𝐗(s,\varphi )=\cos (\alpha )\left[\begin{array}{c}A\cosh \left(\frac{s}{A}\right)\cos \left(\varphi \right)\\ -A\cosh \left(\frac{s}{A}\right)\sin \left(\varphi \right)\\ s\end{array}\right]+\sin (\alpha )\left[\begin{array}{c}A\sinh \left(\frac{s}{A}\right)\sin \left(\varphi \right)\\ A\sinh \left(\frac{s}{A}\right)\cos \left(\varphi \right)\\ A\varphi \end{array}\right]$

En los extremos, la superficie es una catenoide $(\alpha =0)$ o un helicoide $(\alpha =\pi /2)$. De lo contrario, $\alpha$ representa un ángulo de la mezcla. La superficie resultante, con un dominio elegido para evitar la autointersección, es una catenaria que gira alrededor del eje ${𝐗}_3$ de forma helicoidal.

Líneas de curvatura

Se puede reescribir cada elemento de la segunda matriz fundamental en función de $f$ y $g$, por ejemplo

${𝐗}_{𝐮𝐮}\cdot \widehat{𝐧}=\frac{1}{|g{|}^2+1}\left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}((1-g^2)f^{\prime }-2gf{g}^{\prime })\\ \mathrm{Re}((1+g^2)f^{\prime }i+2gf{g}^{\prime }i)\\ \mathrm{Re}(2g{f}^{\prime }+2f{g}^{\prime })\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\mathrm{Re}\left(2g\right)\\ \mathrm{Re}(-2gi)\\ \mathrm{Re}(|g{|}^2-1)\end{array}\right]=-2\mathrm{Re}(f{g}^{\prime })$

Y en consecuencia, la segunda matriz de forma fundamental se puede simplificar como

$\left[\begin{array}{cc}-\mathrm{Re}f{g}^{\prime }& \mathrm{Im}f{g}^{\prime }\\ \mathrm{Im}f{g}^{\prime }& \mathrm{Re}f{g}^{\prime }\end{array}\right]$

Uno de sus vectores propios es $\overline{\sqrt{f{g}^{\prime }}}$, que representa la dirección principal en el dominio complejo. Por lo tanto, las dos direcciones principales en el espacio $uv$ resultan ser

$\varphi =-\frac{1}{2}\mathrm{Arg}(f{g}^{\prime })\pm k\pi /2$

Véase también

• Familia asociada
• Superficie de Bryant, genetada mediante una parametrización análoga en un espacio hiperbólico