Polinomios de Laguerre

Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales, llamados así en honor de Edmond Laguerre, surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial:

$x{y}^{″}+(1-x)y^{\prime }+ny=0$

Desarrollando $y$ en serie de potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:

$a_{k+1}=\frac{k-n}{(k+1{)}^2}{a}_k,k=0,1,2,...;y(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$

Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (y distinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por L_n(x)). Para encontrar la otra solución linealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general $y^{″}(x)+p(x)y^{\prime }(x)+q(x)y(x)=0$.

Definición

El polinomio de Laguerre de orden n puede definirse como sigue:

$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(x^n{e}^{-x}).$

Que tras desarrollar queda de la forma:

$L_n(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{k!}{x}^k=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\frac{n!}{(n-k)!k!k!}{x}^k$

algunos de estos polinomios son:

n	$L_n(x)$
0	$1$
1	$-x+1$
2	$(x^2-4x+2)/2$
3	$(-x^3+9x^2-18x+6)/6$
4	$(x^4-16x^3+72x^2-96x+24)/24$
5	$(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120)/120$
6	$(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)/720$

Los polinomios de Laguerre también pueden ser definidos mediante la integral:

$L_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)t^{n+1}}dt$

Integrando en sentido contrario a las agujas del reloj sobre cualquier camino cerrado en torno al origen del plano complejo y contenido en el disco |t| < 1.

Función generatriz

La función generatriz de los polinomios de Laguerre viene dada por:

$\psi (x,t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{L}_n(x)t^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{t}^n|t|<1$

Cambiando el orden de los sumatorios, haciendo el cambio m = n - k y reordenando queda lo que a continuación:

$\psi (x,t)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!}{x}^k{t}^k\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+k}{k})t^m$

Que sabiendo que ${\sum }_{m=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+k}{k})t^m={\left(\frac{1}{1-t}\right)}^{k+1}\mathrm{\forall }|t|<1$, y después de reagrupar queda de la forma:

$\psi (x,t)=\frac{1}{1-t}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}{\left(\frac{-xt}{1-t}\right)}^k=\frac{1}{1-t}\exp \left(\frac{-xt}{1-t}\right)$

Relaciones de recurrencia

A partir de la función generatriz, despejando la exponencial y derivando respecto de t se puede llegar a una relación de recurrencia como la siguiente:

$(n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_n(x)-n{L}_{n-1}(x)$

Conocidos los dos primeros polinomios (ver tabla) puede utilizarse esta fórmula para obtener el de grado n.

Ortogonalidad

Los polinomios de Laguerre son ortogonales según el producto escalar:

$⟨L_n|L_m⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{L}_n(x)L_m(x)e^{-x}dx={\delta }_{nm}$

Siendo ${\delta }_{nm}$ la delta de Kronecker. No obstante podemos definir las funciones:

${\phi }_n(x)=L_n(x)e^{-x/2}$

Que claramente son ortonormales respecto del producto escalar ordinario:

$⟨{\phi }_n|{\phi }_m⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\phi }_n(x){\phi }_m(x)dx={\delta }_{nm}$

Despejando de su definición los polinomios de Laguerre y sustituyendo en la ecuación de Laguerre obtenemos la ecuación diferencial que nos da estas funciones como solución:

$x{{\phi }_n}^{″}(x)+{{\phi }_n}^{\prime }(x)+(n+\frac{1}{2}-\frac{x}{4}){\phi }_n(x)=0$

Polinomios asociados de Laguerre

También llamados polinomios de Laguerre generalizados, son polinomios que cumplen la siguiente ecuación diferencial:

$x{y}^{″}(x)+(m+1-x)y^{\prime }(x)+ny(x)=0$

Definición

Quedan definidos a partir de las derivadas de los polinomios de Laguerre:

$L_n^m(x)=(-1{)}^m\frac{d^m}{d{x}^m}{L}_{n+m}(x),m\le n$

Aunque en ocasiones puede resultar ventajoso emplear la fórmula de Rodrigues:

$L_n^m(x)=\frac{e^x{x}^{-m}}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}(e^{-x}{x}^{n+m})$

Derivando, según la definición se obtiene:

$L_n^m(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{n-k})\frac{1}{k!}{x}^k$

Función generatriz y relaciones de recurrencia

La función generatriz viene dada por:

${\psi }_m(x,t)=\sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{L}_n^m(x)t^n=\frac{1}{(1-t{)}^{m+1}}\exp \left(\frac{-xt}{1-t}\right)|t|<1$

De la que se derivan las relaciones de recurrencia que cumplen; algunas de las cuales son las siguientes:

$L_n^m(x)=L_n^{m+1}(x)-L_{n-1}^{m+1}(x)$

$\frac{d}{dx}{L}_n^m(x)=-L_{n-1}^{m+1}(x)$

$n{L}_n^m(x)=(n+m)L_{n-1}^m(x)+(n-x)L_{n-1}^{m+1}(x)$

$x{L}_n^{m+1}(x)=(n+m)L_{n-1}^m(x)-(n-x)L_n^m(x)$

Ortogonalidad

Los polinomios asociados de Laguerre son ortogonales respecto la función peso $x^m{e}^{-x}$. Se cumple que:

$⟨L_n^m|L_{n^{\prime }}^m⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^m{L}_n^m(x)L_{n^{\prime }}^m(x)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+m+1)}{n!}{\delta }_{n{n}^{\prime }}$

Otra relación de importancia que cumplen es la siguiente:

$⟨L_n^m|x{L}_n^m⟩=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{m+1}{L}_n^m(x)L_n^m(x)dx=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+m+1)}{n!}(2n+m+1)$

Donde $\mathrm{\Gamma }(k)$ es la función Gamma.

Como con los polinomios de Laguerre, se encuentra que las siguientes funciones son ortonormales respecto de la función peso 1:

${\phi }_{nm}(x)=\sqrt{\frac{n!}{\mathrm{\Gamma }(n+m+1)}}{e}^{-x/2}{x}^{m/2}{L}_n^m(x)$

Son de importancia en mecánica cuántica otras que son ortonormales respecto de la función peso $x^2$ (debido a la forma que toma la integral de volumen en coordenadas esféricas) que surgen como solución a la parte radial de la ecuación de Schrödinger para el átomo hidrogenoide. Estas funciones son las siguientes:

$R_{nl}(\rho )=N{e}^{-\rho /2}{\rho }^l{L}_{n+l-1}^{2l+1}(\rho )$

En general las funciones construidas de la forma:

${\phi }_{nm\nu }(x)=e^{-x/2}{x}^{\nu }{L}_n^m(x)$

Son ortogonales respecto de la función peso $x^{m-2\nu }$ y son solución de la ecuación:

$x{\phi }_{n^{″}m\nu }(x)+(m+1-2\nu ){\phi }_{n^{\prime }m\nu }(x)+[n+\frac{m+1}{2}-\frac{x}{4}+\frac{\nu (\nu -m)}{x}]{\phi }_{nm\nu }=0$

Relación con los polinomios de Hermite

Los polinomios de Laguerre se relacionan con los polinomios de Hermite como sigue:

$L_n^{-1/2}(x^2)=\frac{(-1{)}^n}{2^{2n}n!}{H}_{2n}(\sqrt{x})$

$L_n^{1/2}(x^2)=\frac{(-1{)}^n}{2^{2n+1}n!}\frac{H_{2n+1}(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

Véase también

• Polinomios de Legendre
• Polinomios de Hermite
• Ecuación diferencial
• Átomo hidrogenoide

Referencias

• Apuntes de Polinomios de Laguerre por la Universidad de Chile
• Plantilla:MathWorld
• ALGUNAS OBSERVACIONES SOBRE EL SEMIGRUPO DE LAGUERRE