Preorden total

En Teoría del Orden, una relación binaria R se llama preorden total sobre un conjunto X si con las siguientes propiedades:

• (Total)

$\mathrm{\forall }x,y\in X:xRy\vee yRx$

• (Transitiva)

$\mathrm{\forall }x,y,z\in X:xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz$

Ejemplo

En Teoría de Elección Social podemos decir el orden de preferencias es un preorden total. Supongamos que tenemos cuatro candidatos a, b, c y d. Puede ocurrir que:

• a sea más preferido que b $(a\lesssim b)$
• a sea más preferido que c $(a\lesssim c)$
• b más preferido que d $(b\lesssim d)$
• c más preferido que d $(c\lesssim d)$
• b es incomparable con c $(b\lesssim c\vee c\lesssim b)$

Es fácil verificar que $\lesssim$ es un preorden total.