Producto interior

En matemáticas, el producto interior (también conocido como derivada interior, multiplicación interior, operador de inserción o derivación interna) es una (anti)derivación de grado−1 en el álgebra exterior de formas diferenciales en una variedad diferenciable. El producto interior, nombrado así en oposición al producto exterior, no debe confundirse con un espacio prehilbertiano. El producto interior ι_Xω a veces se escribe como Plantilla:Nowrap.

Definición

El producto interior se define como la contracción de una forma diferencial con un campo vectorial. Por tanto, si X es un campo vectorial en una variedad M, entonces

${\iota }_X:{\mathrm{\Omega }}^p(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{p-1}(M)$

es la aplicación que envía una p-forma ω a la (p−1)-forma ι_Xω definida por la propiedad de que

$({\iota }_X\omega )(X_1,\dots ,X_{p-1})=\omega (X,X_1,\dots ,X_{p-1})$

para cualquier campo vectorial X₁, ..., X_p−1.

El producto interior es la única antiderivación de grado −1 en el álgebra exterior, de modo que en uno-formas α

${\iota }_X\alpha =\alpha (X)=⟨\alpha ,X⟩$,

donde Plantilla:Nowrap es el emparejamiento dual entre α y el vector X. Explícitamente, si β es una forma p, entonces

${\iota }_X(\beta \wedge \gamma )=({\iota }_X\beta )\wedge \gamma +(-1{)}^p\beta \wedge ({\iota }_X\gamma ).$

La relación anterior indica que el producto interior obedece a una regla de Leibniz calificada. Una operación que satisface la linealidad junto con una regla de Leibniz se llama derivación.

Propiedades

Por antisimetría de formas,

${\iota }_X{\iota }_Y\omega =-{\iota }_Y{\iota }_X\omega$

y entonces ${\iota }_X\circ {\iota }_X=0$. Esto se puede comparar con la derivada exterior d, que tiene la propiedad de que Plantilla:Nowrap.

El producto interior relaciona la derivada exterior y la derivada de Lie de formas diferenciales por la fórmula de Cartan (también conocida como identidad de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan o fórmula mágica de Cartan):

${ℒ}_X\omega =d({\iota }_X\omega )+{\iota }_{X}d\omega =\{d,{\iota }_X\}\omega .$

Esta identidad define una dualidad entre las derivadas exterior e interior. La identidad de Cartan es importante en topología simpléctica y relatividad general: consúltese la aplicación momento. La fórmula de homotopía de Cartan lleva el nombre de Élie Cartan.

El producto interior con respecto al conmutador de dos campos vectoriales $X$, $Y$ satisface la identidad

${\iota }_{[X,Y]}=[{ℒ}_X,{\iota }_Y].$

Véase también

• Producto de Cap
• Espacio prehilbertiano
• Contracción tensorial

Bibliografía

• Theodore Frankel, The Geometry of Physics: An Introduction; Cambridge University Press, 3rd ed. 2011
• Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, 2e, Springer. 2011. Plantilla:Doi