Relleno con círculos de un triángulo equilátero

El relleno con círculos de un triángulo equilátero es un problema de empaquetado estudiado en matemáticas discretas. Consiste en acomodar n círculos de radio unidad en el triángulo equilátero más pequeño posible.

Soluciones

Se conocen las soluciones óptimas para n < 13 y para cualquier número triangular de círculos, y en los años 1990 se formularon conjeturas para n < 28.

Una conjetura de Paul Erdős y Norman Oler indica que, si Plantilla:Mvar es un número triangular, entonces los empaquetamientos óptimos de los Plantilla:Math y de los Plantilla:Mvar círculos tienen la misma longitud lateral: es decir, según la conjetura, se puede encontrar un empaquetamiento óptimo para Plantilla:Math círculos eliminando cualquier círculo individual del empaquetamiento hexagonal óptimo para Plantilla:Mvar círculos. Esta conjetura ahora se sabe que es verdadera para Plantilla:Math.

Soluciones mínimas y su longitud del lado del triángulo asociado para círculos de radio uno:

Número de círculos	Número triangular	Longitud	Área
1	Sí	$2\sqrt{3}$ = 3.464...	5.196...
2	No	$2+2\sqrt{3}$ = 5.464...	12.928...
3	Sí	$2+2\sqrt{3}$ = 5.464...	12.928...
4	No	$4\sqrt{3}$ = 6.928...	20.784...
5	No	$4+2\sqrt{3}$ = 7.464...	24.124...
6	Sí	$4+2\sqrt{3}$ = 7.464...	24.124...
7	No	$2+4\sqrt{3}$ = 8.928...	34.516...
8	No	$2+2\sqrt{3}+\frac{2}{3}\sqrt{33}$ = 9.293...	37.401...
9	No	$6+2\sqrt{3}$ = 9.464...	38.784...
10	Sí	$6+2\sqrt{3}$ = 9.464...	38.784...
11	No	$4+2\sqrt{3}+\frac{4}{3}\sqrt{6}$ = 10.730...	49.854...
12	No	$4+4\sqrt{3}$ = 10.928...	51.712...
13	No	$4+\frac{10}{3}\sqrt{3}+\frac{2}{3}\sqrt{6}$ = 11.406...	56.338...
14	No	$8+2\sqrt{3}$ = 11.464...	56.908...
15	Sí	$8+2\sqrt{3}$ = 11.464...	56.908...

Un problema estrechamente relacionado es cubrir el triángulo equilátero con un número fijo de círculos iguales, teniendo un radio tan pequeño como sea posible.

Véase también

• Relleno con círculos de un triángulo isósceles rectángulo
• Círculos de Malfatti, una construcción que brinda la solución óptima para tres círculos en un triángulo equilátero