Retículo vectorial topológico

En matemáticas, específicamente en análisis funcional y en teoría del orden, un retículo vectorial topológico es un espacio vectorial topológico (EVT) de Hausdorff $X$ que tiene un orden parcial $\le$ que lo convierte en un espacio de Riesz que posee una base de entornos en el origen que consta de conjuntos sólidos.Plantilla:Sfn Las redes vectoriales ordenadas tienen aplicaciones importantes en teoría espectral.

Definición

Si $X$ es un retículo vectorial, entonces se denominan operaciones de retículos vectoriales a las siguientes aplicaciones:

1. Las tres aplicaciones de $X$ sobre sí mismo definidas por $x\mapsto |x|$, $x\mapsto x^{+}$, $x\mapsto x^{-}$ y
2. Las dos aplicaciones de $X\times X$ sobre $X$ definidas por $(x,y)\mapsto \underset{}{\sup }\{x,y\}$ y $(x,y)\mapsto \underset{}{\inf }\{x,y\}$.

Si $X$ es un EVT sobre los números reales y un retículo vectorial, entonces $X$ es localmente sólido si y solo si (1) su cono positivo es un cono normal y (2) las operaciones del retículo vectorial son continuas.Plantilla:Sfn

Si $X$ es un retículo vectorial y un espacio vectorial topológico ordenado que también es un espacio de Fréchet en el que el cono positivo es un cono normal, entonces las operaciones del retículo son continuas.Plantilla:Sfn

Si $X$ es un espacio vectorial topológico (EVT) y un espacio vectorial ordenado, entonces $X$ se denomina localmente sólido si $X$ posee una base de entornos en el origen que consta de conjuntos sólidos.Plantilla:Sfn Un retículo vectorial topológico es un EVT de Hausdorff $X$ que tiene un orden parcial $\le$ que lo convierte en un espacio de Riesz que es localmente sólido.Plantilla:Sfn

Propiedades

Cada retículo vectorial topológico tiene un cono positivo cerrado y, por lo tanto, es un espacio vectorial topológico ordenado.Plantilla:Sfn Sea $ℬ$ el conjunto de todos los subconjuntos acotados de un retículo vectorial topológico con cono positivo $C$ y, para cualquier subconjunto $S$, sea $[S{]}_C:=(S+C)\cap (S-C)$ la envolvente $C$ saturado de $S$. Entonces, el cono positivo $C$ del retículo vectorial topológico es un cono $ℬ$ estricto,Plantilla:Sfn donde $C$ es un cono $ℬ$ estricto significa que $\{[B{]}_C:B\in ℬ\}$ es una subfamilia fundamental de $ℬ$, es decir, cada $B\in ℬ$ está contenido como un subconjunto de algún elemento de $\{[B{]}_C:B\in ℬ\}$).Plantilla:Sfn

Si un retículo vectorial topológico $X$ posee orden completo, entonces cada banda está cerrada en $X$.Plantilla:Sfn

Ejemplos

Los espacios Lᵖ ($1\le p\le \mathrm{\infty }$) son retículos de Banach según su ordenamiento canónico. Estos espacios son órdenes completos para $p<\mathrm{\infty }$.

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
• Plantilla:Cita libro