Retículo vectorial localmente convexo

En matemáticas, específicamente en teoría del orden y en análisis funcional, un retículo vectorial localmente convexo es un retículo vectorial topológico que también es un espacio localmente convexo.Plantilla:Sfn Estos retículos son importantes en la teoría de los retículos vectoriales topológicos.

Seminormas de retículos

El funcional de Minkowski de un conjunto convexo, absorbente y sólido se denomina 'seminorma del retículo. De manera equivalente, es una seminorma $p$ tal que $|y|\le |x|$ implica que $p(y)\le p(x).$ La topología de un retículo vectorial localmente convexo es generada por la familia de todas las seminormas de retículos continuos.Plantilla:Sfn

Propiedades

Cada retículo vectorial localmente convexo posee una base de entornos en el origen que consta de conjuntos convexos, equilibrados, sólidos y absorbentes.Plantilla:Sfn

El dual fuerte de un retículo vectorial localmente convexo $X$ es un retículo vectorial localmente convexo de orden completo (bajo su orden canónico) y es un subespacio sólido del orden dual de $X$. Además, si $X$ es un espacio barrilado, entonces el espacio dual continuo de $X$ es una banda en el orden dual de $X$ y el dual fuerte de $X$ es un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo y completo.Plantilla:Sfn

Si un retículo vectorial localmente convexo es barrilado, entonces su espacio dual fuerte está completo (esto no es necesariamente cierto si el espacio es simplemente un espacio barrilado localmente convexo, pero no un retículo vectorial localmente convexo).Plantilla:Sfn

Si un retículo vectorial localmente convexo $X$ es semirreflexivo, entonces tiene el orden completo y $X_b$ (es decir, $(X,b(X,X^{\prime }))$) es un EVT completo. Además, si todo funcional lineal positivo en $X$ es continuo, entonces $X$ es de tipo mínimo, la topología de orden ${\tau }_{\mathrm{O}}$ en $X$ es igual a la topología de Mackey $\tau (X,X^{\prime }),$ y $(X,{\tau }_{\mathrm{O}})$ es reflexivo.Plantilla:Sfn Cada retículo vectorial localmente convexo reflexivo posee orden completo y un EVT localmente convexo completo cuyo dual fuerte es un EVT localmente convexo reflexivo barrilado que se puede identificar en la aplicación de evaluación canónica con el bidual fuerte (es decir, el dual fuerte del dual fuerte).Plantilla:Sfn

Si un retículo vectorial localmente convexo $X$ es un EVT infrabarrilado, entonces se puede identificar en la aplicación de evaluación con un subretículo vectorial topológico de su bidual fuerte, que es una retículo vectorial localmente convexo de orden completo según su orden canónico.Plantilla:Sfn

Si $X$ es un espacio vectorial topológico ordenado localmente convexo, metrizable y separable cuyo cono positivo $C$ es un subconjunto completo y total de $X,$ entonces el conjunto de puntos cuasi interiores de $C$ es denso en $C.$Plantilla:Sfn

Si $(X,\tau )$ es un retículo vectorial localmente convexo que es bornológico y secuencialmente completo, entonces existe una familia de espacios compactos ${\left(X_{\alpha }\right)}_{\alpha \in A}$ y una familia de inclusiones de retículos vectoriales indexados $A$ $f_{\alpha }:C_{ℝ}\left(K_{\alpha }\right)\to X$ de modo que $\tau$ es la topología localmente convexa más fina en $X$, lo que hace que cada $f_{\alpha }$ sea continuo.Plantilla:Sfn

Ejemplos

• Cada retículo de Banach, retículo normado y retículo de Fréchet, es un retículo vectorial localmente convexo.

Véase también

• Retículo de Banach
• Retículo de Fréchet
• Retículo normado
• Espacio de Riesz

Bibliografía

• Plantilla:Cita libro
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