Suma directa de módulos

Un coproducto $(A_i{)}_{i\in I}$ de objetos en una categoría $C$, es un objeto $S$ de $C$, junto a una familia de morfismos $f_i:A_i\to S$ ($i\in I$) tal que para cualquier objeto $B$ y una familia de morfismos $g_i:A_i\to B$, existe un único morfismo $g:S\to B$ tal que $g\circ f_i=g_i$.

No hay una notación uniforme para los coproductos o sumas directas y algunas veces se denota $\underset{i\in I}{⨁}{A}_i$.

Ejemplos

• Consideremos un anillo R y la categoría de R-módulos por la izquierda. En este caso, la suma directa de una familia de R-módulos existe y es única. La construcción se puede hacer de la siguiente manera:

Sea $(A_i{)}_{i\in I}$ una familia de R-módulos por la izquierda, entonces definimos

$S:=\{(a_i{)}_{i\in I}:a_i\in A_i$ y todos los $a_i$ son cero, excepto un número finito de ellos $\}$, y definimos

$f_i:A_i\to S$ como la inclusión de $A_i$ en la i-ésima coordenada de S.

Y definimos la suma de elementos en S, y el producto escalar, de un elemento $k\in$ R por uno de S de la siguiente manera, coordenada a coordenada:

$(a_i{)}_{i\in I}+(b_i{)}_{i\in I}:=(a_i+b_i{)}_{i\in I}$

$k(a_i{)}_{i\in I}:=(k{a}_i{)}_{i\in I}$

• Un caso particular de lo anterior es el caso en que R es cuerpo, es decir cuando estamos en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. En este caso, dado V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tales que $W\cap U=\{0\}$, podemos definir la suma directa interna, denotada $W\oplus U$, como el subespacio generado por W y U. No es difícil probar que este subespacio es isomorfo a la suma directa definida en el punto anterior.

• Otro caso es la suma directa de grupos abelianos, ya que la categoría de grupos abelianos es equivalente a la categoría de $\mathbb{Z}$-módulos.

Suma directa de espacios vectoriales

Dados dos subespacios vectoriales $F_1,F_2$ de un espacio vectorial $E$, podemos definir la suma directa interna de $F_1,F_2$, y diremos que $F_1$ y $F_2$ están en suma directa, si, y sólo si, para todo elemento $u\in F_1+F_2$ existe una única pareja $(u_1,u_2)\in F_1\times F_2$ tal que $u=u_1+u_2$. En este caso, escribiremos $F_1\oplus F_2$. En este caso se puede decir también que la suma $F_1+F_2$ es directa.

Dicho de otro modo, la suma de dos subespacios vectoriales $F_1$ y $F_2$ es directa si la descomposición de todo elemento de $F_1+F_2$ como suma de un elemento de $F_1$ y un elemento de $F_2$ es única.

Esta noción se puede generalizar a familias finitas de subespacios de $E$. Diremos que $\{F_1,\dots ,F_k\}$ están en suma directa si, y sólo si, para todo elemento de la suma $F_1+\dots +F_k$, existe una única $k$-tupla $(u_1,\dots ,u_k)\in F_1\times \dots \times F_k$ tal que $u=u_1+\dots +u_k$.

En dimensión finita, tenemos la siguiente caracterización de que una familia de subespacios estén en suma directa:

En dimensión cualquiera, sólo son ciertos aquellos apartados donde no se utiliza que la dimensión sea finita para construir bases o hablar de la fórmula de Grassmann, es decir, en dimensión arbitraria, tenemos la siguiente caracterización:

Resultados clásicos relacionados con la suma directa

Los siguientes resultados relacionados con la suma directa son clásicos:

• Dados $E$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $𝕂$ de dimensión finita y $f$ un endomorfismo de $E$ con valores propios ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ distintos dos a dos, si denotamos $E_i$ el espacio propio del valor propio ${\lambda }_i$, entonces $E_1\oplus \dots \oplus E_r$. La demostración de esto se puede ver en el artículo sobre diagonalización.
• Dado $E$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $𝕂$ de dimensión finita, para cualquier subespacio $F\subseteq E$, se tiene que $E=F\oplus F^{\perp }$, con $F^{\perp }$ el complemento ortogonal de $F$. La demostración de esto se puede ver en el artículo sobre el complemento ortogonal.
• Dados $E$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $𝕂$ de dimensión finita, $f$ un endomorfismo de $E$ y un polinomio $p\in 𝕂[t]$ anulador de $f$, i.e. $p(f)=0$, que descompone en factores irreducibles como $p=p_1\cdot \dots \cdot p_r$, se tiene que $E=\ker p_1(f)\oplus \dots \oplus \ker p_r(f)$. Por el teorema de Cayley-Hamilton este polinomio puede ser, por ejemplo, el polinomio característico de $f$. Se puede demostrar que para cualquier polinomio, $\ker p(f)$ es un subespacio invariante por $f$. Por tanto, el anterior teorema afirma que para cualquier endomorfismo $f$ de $E$, podemos descomponer $E$ como suma directa de subespacios invariantes por $f$. La demostración de todo esto se puede ver en el artículo sobre subespacios invariantes.

Enlaces externos

• Plantilla:MathWorld